Vis ekvivalensen

[ThomasSkas]

Hei sann folkens
Ser at dere er i gang med noen morsomme oppgaver her, så tenkte at jeg skulle slenge inn denne, som helt sikkert er lett for dere.
Har noen flere bevisoppgaver på lager.
Vis følgende ekvivalens:

[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2 \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex]

[skf95]

[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]0=xy+xz+yz[/tex]

Deler på [tex]xyz[/tex] på begge sider. (x,y,z≠0)

[tex]0= \frac{1}{z}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{x}[/tex]

Men er dette en ekvivalens? Variablene kan være lik null i den første likningen, men ikke den andre ...

[Brahmagupta]

Vi må nesten anta at $x,y,z\neq0$ for at dette skal holde. Under denne antagelsen har vi at

$\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}=0\;\;|\cdot xyz$

$xy+yz+zx=0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2\Leftrightarrow (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$

[ThomasSkas]

[tex]x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]0=xy+xz+yz[/tex]

Deler på [tex]xyz[/tex] på begge sider. (x,y,z≠0)

[tex]0= \frac{1}{z}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{x}[/tex]

Men er dette en ekvivalens? Variablene kan være lik null i den første likningen, men ikke den andre ...

Hehe, det stemmer nok helt sikkert det.
Fant denne oppgaven i boka mi under blandede bevisoppgaver og tenkte den så litt fin ut å poste her, men dere løste den på flekken som om den er ingenting, haha