Vis ved matematisk induksjon at summen av de [tex]n[/tex] første trekanttallene kan skrives som
[tex]S_n= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex].
Bevisoppgave for VGS
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hentet fra tidligere gitt R2-eksamen. Der ble du hjulpet på vei, men for å gjøre det litt vanskeligere (for mange mindre lett) går vi rett på siste deloppgave:
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Induksjon er jo pent det og, men selv foretrekker jeg å skrive
$\sum 3i(i+1)$ på to ulike måter for å stadfeste identiten. Da slipper jeg
å måtte huske på hva summen var :p
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ser veldig pent ut, men kan ikke si jeg forsto beviset. Fullstendig induksjonsbevis er derimot forståelig, men til gjengjeld både lenger og lengreNebuchadnezzar skrev:
Induksjon er jo pent det og, men selv foretrekker jeg å skrive
$\sum 3i(i+1)$ på to ulike måter for å stadfeste identiten. Da slipper jeg
å måtte huske på hva summen var :p
:I beviset bruker vi et lemma; trekanttall nummer [tex]n[/tex], [tex]a_n[/tex], kan skrives som [tex]a_n= \frac{n(n+1)}{2}[/tex]. (Dette følger fra formelen for summen av aritmetiske rekker, eller bevises separat med induksjon, eller ses ut fra et rektangel med sider n og n+1).
De første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og så videre helt til det [tex]n[/tex]-te trekanttallet. Vi skal altså vise at
[tex]1+3+6+ \cdots + \frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]
Da går vi løs på første trinn i induksjonsbeviset!
A: Vi undersøker om formelen er rikgtig for en vaglt verdi. Jeg tester med [tex]n=1[/tex]. Det gir
[tex]1= \frac{1(1+1)(1+2)}{6} \Leftrightarrow 1= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} \Leftrightarrow 1=1[/tex]
Formelen holder altså for [tex]n=1[/tex].
B: Vi antar formelen gjelder for [tex]n=k+1[/tex]. Dette gir:
[tex]1+3+6+ \cdots + \frac{k(k+1)}{2} + \frac{(k+1)(k+2)}{2}= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex]
De første leddene på venstresiden kan erstattes med formelen vi har antatt er riktig, og fortsetter med enkel algebra. Vi får
[tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{6} + \frac{(k+1)(k+2)}{2}= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} \Leftrightarrow k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3) \Leftrightarrow (k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)[/tex]
hvilket åpenbart holder for alle [tex]k[/tex].
C: Vi har vist at formelen gjelder for [tex]n=1[/tex] og [tex]n=k+1[/tex]. Prinsippet for matematisk induksjon gir da at formelen gjelder for [tex]n \geq 1[/tex].
Hvilket skulle bevises.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Induksjonssteget ditt ser ikke helt riktig ut. Du starter med å anta at formelen gjelder for n=k+1 og deretter antar du også at det stemmer
for n=k og konkluderer med at det stemmer for n=k+1. Slik det står da har du ikke vist noe som helst. Jeg tror jeg ser hvordan du tenker
allikevel. Du setter opp likheten n=k+1 og bruker antagelsen om at det gjelder for n=k til å redusere den til noe åpenbart. Til tross for
at det er ekvivalenser hele veien burde du begynne fra det åpenbare og ende opp med det du ønsker å vise.
For eksempel: Anta at formelen stemmer for n=k. Da er
[tex]\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6=\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{3(k+1)(k+2)}6=(\sum_{i=1}^k \frac{i(i+1)}2)+\frac{(k+1)(k+2)}2=\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2[/tex]
Som viser at formelen stemmer for n=k+1 også.
for n=k og konkluderer med at det stemmer for n=k+1. Slik det står da har du ikke vist noe som helst. Jeg tror jeg ser hvordan du tenker
allikevel. Du setter opp likheten n=k+1 og bruker antagelsen om at det gjelder for n=k til å redusere den til noe åpenbart. Til tross for
at det er ekvivalenser hele veien burde du begynne fra det åpenbare og ende opp med det du ønsker å vise.
For eksempel: Anta at formelen stemmer for n=k. Da er
[tex]\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6=\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{3(k+1)(k+2)}6=(\sum_{i=1}^k \frac{i(i+1)}2)+\frac{(k+1)(k+2)}2=\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2[/tex]
Som viser at formelen stemmer for n=k+1 også.
Takk for tilbakemelding! 
Jeg bruker lærerboken Sigma R2 (Gyldendal), og der er det kun et lite oppslag om induksjonsbevis. De deler beviset inn i tre trinn. Kort fortalt er disse
A: Vis at formelen er riktig for en første verdi av [tex]n[/tex].
B: Anta formelen er riktig for [tex]n[/tex], og vi at den da også er riktig for [tex]n+1[/tex].
Konklusjon: Prinsippet for matematisk induksjon gir da at formelen er riktig for alle naturlige tall fra og med den første verdien (valgt i trinn A).
A regner jeg med jeg har gjort riktig (i oppgaven over). Trinn B derimot reiser noen spørsmål. For det første registrerer jeg at induksjonsbevis jeg finner på nettet, i trinn B, bruker en annen variabel enn den i formelen som skal bevises, ofte [tex]k[/tex]. Altså at trinn B kan formuleres Anta formelen er riktig for en bestemt verdi [tex]k[/tex], og at da må formelen være riktig for [tex]k+1[/tex]. Selv føler jeg dette gir litt mer mening enn å anta at den er riktig for [tex]n[/tex], da jeg ikke vet om den faktisk gjelder for alle [tex]n[/tex]. Men jeg vet den er riktig for en bestemt verdi av [tex]k[/tex], f.eks. 1 i oppgaven over.
Ser at formuleringen min i oppgaven over blir feil. Jeg mente vel å skrive at Jeg antar formelen er riktig for [tex]k[/tex]. Undersøker så om den da også er riktig for [tex]k+1[/tex]. Deretter følger samme algebra som jeg gjorde i oppgaven over. Blir det riktig da?
Trinn C/konklusjonen blir bare en formalitet.
I generell bevisføring er jeg enig, men hva er det åpenbare i dette tilfelle? Ser ikke helt hvorfor det første du gjør i beviset ditt (i forrige post) er åpenbart.
Jeg bruker lærerboken Sigma R2 (Gyldendal), og der er det kun et lite oppslag om induksjonsbevis. De deler beviset inn i tre trinn. Kort fortalt er disse
A: Vis at formelen er riktig for en første verdi av [tex]n[/tex].
B: Anta formelen er riktig for [tex]n[/tex], og vi at den da også er riktig for [tex]n+1[/tex].
Konklusjon: Prinsippet for matematisk induksjon gir da at formelen er riktig for alle naturlige tall fra og med den første verdien (valgt i trinn A).
A regner jeg med jeg har gjort riktig (i oppgaven over). Trinn B derimot reiser noen spørsmål. For det første registrerer jeg at induksjonsbevis jeg finner på nettet, i trinn B, bruker en annen variabel enn den i formelen som skal bevises, ofte [tex]k[/tex]. Altså at trinn B kan formuleres Anta formelen er riktig for en bestemt verdi [tex]k[/tex], og at da må formelen være riktig for [tex]k+1[/tex]. Selv føler jeg dette gir litt mer mening enn å anta at den er riktig for [tex]n[/tex], da jeg ikke vet om den faktisk gjelder for alle [tex]n[/tex]. Men jeg vet den er riktig for en bestemt verdi av [tex]k[/tex], f.eks. 1 i oppgaven over.
Ser at formuleringen min i oppgaven over blir feil. Jeg mente vel å skrive at Jeg antar formelen er riktig for [tex]k[/tex]. Undersøker så om den da også er riktig for [tex]k+1[/tex]. Deretter følger samme algebra som jeg gjorde i oppgaven over. Blir det riktig da?
Trinn C/konklusjonen blir bare en formalitet.
Til tross for at det er ekvivalenser hele veien burde du begynne fra det åpenbare og ende opp med det du ønsker å vise.
I generell bevisføring er jeg enig, men hva er det åpenbare i dette tilfelle? Ser ikke helt hvorfor det første du gjør i beviset ditt (i forrige post) er åpenbart.
Det vanlige er å vise at den er sann for et grunntilfelle, eksempelvis $n = 1$.
Deretter antar man at den er riktig for $n = k$.
Vis da at dersom den er riktig for $n = k$, er den også riktig for n = $k+1$
Herfra, med grunntilfellet allerede vist sann, så betyr det at den også er sann for n = 1+1 = 2, som betyr at den må være sann for n = 2+1 osv.
At de dropper å bruke k er kanskje for å gjøre det lettere å betrakte ved å ha en færre bokstav med i spill.
Deretter antar man at den er riktig for $n = k$.
Vis da at dersom den er riktig for $n = k$, er den også riktig for n = $k+1$
Herfra, med grunntilfellet allerede vist sann, så betyr det at den også er sann for n = 1+1 = 2, som betyr at den må være sann for n = 2+1 osv.
At de dropper å bruke k er kanskje for å gjøre det lettere å betrakte ved å ha en færre bokstav med i spill.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
"Det åpenbare" var nok en litt uheldig formulering! Det jeg siktet til er at du startet med det du skulle vise. Hvis du
heller starter med antagelsen, det åpenbare, og viser at den ligningen er ekvivalent med ligningen for tilfelle n=k+1
ville dette vært helt gyldig. Eksempelvis
[tex]\sum_{i=1}^k\frac{i(i+1)}2=\frac{k(k+1)(k+2)}6[/tex]
[tex](\sum_{i=1}^k\frac{i(i+1)}2)+\frac{(k+1)(k+2)}2=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2)=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}6[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6[/tex]
Selvfølgelig kan du like gjerne gå andre veien siden alle overganger er ekvivalenser, men da burde
du først skrive "Vi viser at ligningen er ekvivalent med noe som er sant", men det er å foretrekke å gå
andre veien. Det første beviset jeg skrev er kanskje den mest vanlige måten å gå frem på induksjonsbevis.
Du starter med den ene siden av ligningen du skal vise og, ved hjelp av antagelsen, regner deg frem
til den andre siden. I dette tilfelle er jeg helt enig i, som du sier, at man ikke starter med noe åpenbart
på samme måte.
Når det kommer til bruken av n eller k som variabel, er det egentlig bare en smakssak. En som kan litt
matematikk vil uansett gjenkjenne at det her er snakk om induksjon.
heller starter med antagelsen, det åpenbare, og viser at den ligningen er ekvivalent med ligningen for tilfelle n=k+1
ville dette vært helt gyldig. Eksempelvis
[tex]\sum_{i=1}^k\frac{i(i+1)}2=\frac{k(k+1)(k+2)}6[/tex]
[tex](\sum_{i=1}^k\frac{i(i+1)}2)+\frac{(k+1)(k+2)}2=\frac{k(k+1)(k+2)}6+\frac{(k+1)(k+2)}2[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2)=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}6[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{i(i+1)}2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}6[/tex]
Selvfølgelig kan du like gjerne gå andre veien siden alle overganger er ekvivalenser, men da burde
du først skrive "Vi viser at ligningen er ekvivalent med noe som er sant", men det er å foretrekke å gå
andre veien. Det første beviset jeg skrev er kanskje den mest vanlige måten å gå frem på induksjonsbevis.
Du starter med den ene siden av ligningen du skal vise og, ved hjelp av antagelsen, regner deg frem
til den andre siden. I dette tilfelle er jeg helt enig i, som du sier, at man ikke starter med noe åpenbart
på samme måte.
Når det kommer til bruken av n eller k som variabel, er det egentlig bare en smakssak. En som kan litt
matematikk vil uansett gjenkjenne at det her er snakk om induksjon.