Geometri
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Bruker koordinatgeometri. La origo være det nedre venstre hjørne til det øverste venstre kvadratet. La sidene i de tre øvre kvadratene
være henholdsvis [tex]x,y,z[/tex] slik at siden i det største kvadratet blir [tex]x+y+z[/tex]. La midtpunktene være [tex]A,B,C,D[/tex]
i den naturlige rekkefølgen. Vi ønsker da å vise at [tex]\vec{AC}\cdot \vec{BD}=0[/tex].
[tex]\vec{AC}=(\frac{x}2+y+\frac{z}2,\frac{z}2-\frac{x}2)[/tex]
[tex]\vec{BD}=(-\frac{z}2+\frac{x}2,\frac{x}2+y+\frac{z}2)[/tex]
og dermed [tex]\vec{AC}\cdot \vec{BD}=0[/tex].
Fant ikke noen geometrisk løsning uten koordinater, men jeg kom frem til et resultat som kan være en grei oppfølger.
For en konveks firkant [tex]ABCD[/tex] med sider [tex]a,b,c,d[/tex] vis at diagonalene er ortogonale hvis og bare hvis [tex]a^2+c^2=b^2+d^2[/tex].
være henholdsvis [tex]x,y,z[/tex] slik at siden i det største kvadratet blir [tex]x+y+z[/tex]. La midtpunktene være [tex]A,B,C,D[/tex]
i den naturlige rekkefølgen. Vi ønsker da å vise at [tex]\vec{AC}\cdot \vec{BD}=0[/tex].
[tex]\vec{AC}=(\frac{x}2+y+\frac{z}2,\frac{z}2-\frac{x}2)[/tex]
[tex]\vec{BD}=(-\frac{z}2+\frac{x}2,\frac{x}2+y+\frac{z}2)[/tex]
og dermed [tex]\vec{AC}\cdot \vec{BD}=0[/tex].
Fant ikke noen geometrisk løsning uten koordinater, men jeg kom frem til et resultat som kan være en grei oppfølger.
For en konveks firkant [tex]ABCD[/tex] med sider [tex]a,b,c,d[/tex] vis at diagonalene er ortogonale hvis og bare hvis [tex]a^2+c^2=b^2+d^2[/tex].