Funksjonalligning

[Gustav]

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ slik at

i) $f(xf(y))=yf(x)$ for alle $x,y\in \mathbb{R}^+$ og
ii) $f(x)\to 0$ når $x\to \infty$

[Brahmagupta]

i) [tex]f(xf(y))=yf(x)[/tex]
ii) [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=0[/tex]

Setter henholdsvis [tex]x=1[/tex] og [tex]y=1[/tex]

1) [tex]f(f(y))=yf(1)[/tex]
2) [tex]f(xf(1))=f(x)[/tex]

Benytter f på 2) og bruker deretter 1)
[tex]f(f(xf(1)))=f(f(x))\Rightarrow xf(1)^2=xf(1) \Rightarrow f(1)=1[/tex]. På grunn av restriksjonen til [tex]\mathbb{R^+}[/tex].

Da har vi at 3) [tex]f(f(x))=x[/tex]

4) [tex]\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(f(x))=\lim_{x\to\infty}x=\infty[/tex]

Ved å sette [tex]y=f(y)[/tex] i den opprinnelig ligningen får vi at
5) [tex]f(xy)=f(x)f(y)[/tex]
Fra denne følger det ved induksjon at 6) [tex]f(x^n)=f(x)^n[/tex]

Vi observerer at [tex]f(x)=\frac1{x}[/tex] oppfyller både i) og ii). Ved å sette [tex]x=y[/tex] i i) får vi at
7) [tex]f(xf(x))=xf(x)[/tex]
Anta nå at [tex]f(x)\neq \frac1{x}[/tex]. Det medfører at det finnes [tex]a,c[/tex] slik at [tex]af(a)=c\neq 1[/tex]

Fra 7) får vi at [tex]f(c)=c[/tex] og fra 6) at [tex]f(c^n)=f(c)^n=c^n[/tex],
men dette vil motsi enten ii) eller 4) avhengig av om [tex]c<1[/tex] eller [tex]c>1[/tex].

Så [tex]f(x)=\frac1{x}[/tex] er eneste løsning.