Liten ulikhet

[Nebuchadnezzar]

Vis at
$$
\sqrt{xy} < \frac{x - y}{\log x - \log y} < \frac{x + y}{2}
$$
holder for alle $x>y>0$.

[Gustav]

Den første ulikheten: La $x=a^2$, $y=b^2$. Vi får at $ab<\frac{a^2-b^2}{2\log \frac{a}{b}}$

Ser her at ulikheten er homogen, altså er WLOG ab=1 med a>1, 0<b<1, så vi får en ulikhet i én variabel ved å substituere $b=\frac1a$.

Definerer $f(x)=x^2-x^{-2}-4\log x$. f(1)=0 og derivasjon gir at $f'(x)=\frac{2(x^2-1)^2}{x^3}>0$ for x>1, altså er f(x)>0 for x>1, og den opprinnelige ulikheten følger.


Den andre:

Igjen en homogen ulikhet, så vi kan anta at xy=1. Setter inn $y=\frac1x$ og får at vi må vise $0<(x+\frac1x)\log x - x+\frac1x$ for x>1.

Definerer $g(x)=(x+\frac1x)\log x - x+\frac1x$ og ser at g(1)=0, og $g'(x)=(1-\frac{1}{x^2})\log x>0$ for x>1, altså er g(x)>0 for x>1, og ulikheten følger.