Finn et polynom $p(x)$ som oppfyller følgende krav:
i) Alle koeffisientene er heltall
ii) Alle nullpunktene er heltall
iii) $p(0)=1$
iv) $p(4)=45$
Polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]p(x)=x^3-x^2-x+1[/tex].
Da er [tex]p(0)=1, p(4) = 64-16-4+1=45[/tex] og [tex]p(x)=(x+1)(x-1)^2[/tex] så nullpunktene er [tex]\pm{1}[/tex], altså heltall.
Forklaring:
Prøver meg frem med et polynom på følgende form:
[tex]p(x)=(x-c_1)(x-c_2)\cdots{(x-c_k)}[/tex], dvs. et monisk polynom av grad k med nullpunkter $c_1, \ldots, c_k$. Vi set at:
[tex]p(0)=(-1)^k c_1\cdots{c_k}=1[/tex], dvs. nullpunktene må være enten 1 eller -1.
Videre har vi at [tex]p(4)=(4-c_1)\cdots{(4-c_k)}=45[/tex]. Siden hver [tex]c_i[/tex] er enten 1 eller -1, må hver av faktorene her være enten 3 eller 5. Vi vet at [tex]45=3\cdot{3}\cdot{5}[/tex], så vi lar k=3 og [tex]c_1=1, c_2=1, c_3=-1[/tex].
Da er [tex]p(0)=1, p(4) = 64-16-4+1=45[/tex] og [tex]p(x)=(x+1)(x-1)^2[/tex] så nullpunktene er [tex]\pm{1}[/tex], altså heltall.
Forklaring:
Prøver meg frem med et polynom på følgende form:
[tex]p(x)=(x-c_1)(x-c_2)\cdots{(x-c_k)}[/tex], dvs. et monisk polynom av grad k med nullpunkter $c_1, \ldots, c_k$. Vi set at:
[tex]p(0)=(-1)^k c_1\cdots{c_k}=1[/tex], dvs. nullpunktene må være enten 1 eller -1.
Videre har vi at [tex]p(4)=(4-c_1)\cdots{(4-c_k)}=45[/tex]. Siden hver [tex]c_i[/tex] er enten 1 eller -1, må hver av faktorene her være enten 3 eller 5. Vi vet at [tex]45=3\cdot{3}\cdot{5}[/tex], så vi lar k=3 og [tex]c_1=1, c_2=1, c_3=-1[/tex].
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"