(Håper denne ikke er blitt gitt før)
Vis ved bruk av induksjon at $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<2$ for alle positive heltall $n$.
Induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Anta at [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n}[/tex] for et eller annet heltall n.
Da er [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} = 2-\frac{1}{n+1}[/tex]
I tillegg er [tex]1 + \frac{1}{2^2} < 2 - \frac{1}{2}[/tex]
Så da har vi ved induksjon at [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n} < 2[/tex] for alle n > 1.
For n=1 har vi at:
1 < 2
Så da gjelder ulikheten for alle positive heltall n.
Da er [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} = 2-\frac{1}{n+1}[/tex]
I tillegg er [tex]1 + \frac{1}{2^2} < 2 - \frac{1}{2}[/tex]
Så da har vi ved induksjon at [tex]1 + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n} < 2[/tex] for alle n > 1.
For n=1 har vi at:
1 < 2
Så da gjelder ulikheten for alle positive heltall n.