a) Anta at [tex]x,y>1[/tex]. Vis at
[tex]\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq 2[/tex]
b) Generalisering av første oppgaven. Anta at [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n>1[/tex]. Vis at
[tex]\log_{a_1}{a_2}+\log_{a_2}{a_3}+\cdots + \log_{a_n}{a_1}\geq n[/tex]
Edit: Alle variablene er altså reelle tall!
Logaritmeulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
a) Anta at [tex]x,y>1[/tex]. Vis at
[tex]\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq 2[/tex]
Litt triksing gir at $ \log_{x}{y} = \frac{1}{\log_{y}{x}} $. AM-GM gir at
$ \frac{\log_{x}{y} + \frac{1}{\log_{x}{y}}}{2} \geq 1 $
Setter så inn for $ \frac{1}{\log_{x}{y}} $ som gir den ønskede ulikheten.
[tex]\log_{x}{y}+\log_{y}{x}\geq 2[/tex]
Litt triksing gir at $ \log_{x}{y} = \frac{1}{\log_{y}{x}} $. AM-GM gir at
$ \frac{\log_{x}{y} + \frac{1}{\log_{x}{y}}}{2} \geq 1 $
Setter så inn for $ \frac{1}{\log_{x}{y}} $ som gir den ønskede ulikheten.
b) Generalisering av første oppgaven. Anta at [tex]a_1,a_2,\cdots,a_n>1[/tex]. Vis at
[tex]\log_{a_1}{a_2}+\log_{a_2}{a_3}+\cdots + \log_{a_n}{a_1}\geq n[/tex]
Vi har identiteten $ \log_{a_1}{a_2} = \frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} $. AM-GM gir at
$ \frac{\log_{a_1}{a_2} + \log_{a_2}{a_3} + \cdots + \log_{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{\log_{a_1}{a_2} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} $
Bruker identiteten over repetert
$ \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} = \cdots = \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_1}}{\log_{a_n}{a_1}}\log_{a_n}{a_1}} = 1 $
Og ulikheten følger.
[tex]\log_{a_1}{a_2}+\log_{a_2}{a_3}+\cdots + \log_{a_n}{a_1}\geq n[/tex]
Vi har identiteten $ \log_{a_1}{a_2} = \frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} $. AM-GM gir at
$ \frac{\log_{a_1}{a_2} + \log_{a_2}{a_3} + \cdots + \log_{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{\log_{a_1}{a_2} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} $
Bruker identiteten over repetert
$ \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_3}}{\log_{a_2}{a_3}} \log_{a_2}{a_3} \cdots \log_{a_n}{a_1}} = \cdots = \sqrt[n]{\frac{\log_{a_1}{a_1}}{\log_{a_n}{a_1}}\log_{a_n}{a_1}} = 1 $
Og ulikheten følger.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Fint! Du burde kanskje nevne at [tex]x,y>1[/tex] sikrer at [tex]\log_{x}{y}[/tex] er positiv, som er en forutsetning for at AM-GM kan benyttes.
Det burde jeg nok ha nevnt, ja. Bra oppgave, forresten, og en interessant ulikhet.Brahmagupta skrev:Fint! Du burde kanskje nevne at [tex]x,y>1[/tex] sikrer at [tex]\log_{x}{y}[/tex] er positiv, som er en forutsetning for at AM-GM kan benyttes.