Vi har en planet med masse M, radius r, og en ball med masse m. Planeten har en omdreiningstid på T.
Hvis vi nå kaster ballen rett opp (se bort i fra den horisontale farten omdreiningen tilfører ballen), hvor raskt må vi kaste den for at den skal lande på samme sted -- en omdreining senere? Anta at omdreiningstiden er lang nok til at endringen i gravitasjonsfeltstyrken under kastet er betydelig.
Se bort i fra luftmotstand.
Jeg har ikke løst denne selv, men har en anelse om at det kan bli noen gøyale diffligninger.
Edit: Hvis det blir vanskelig å løse algebraisk kan du bruke jordas masse, radius og omdreiningstid.
Fysikknøtt: Kast rett oppover
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
http://projecteuler.net/ | fysmat
Til den som ikke har de tilstrekkelige fysikkunnskapene:
Den autonome differensialligningen
[tex]\ddot{x}=-\frac{GM}{(r+x)^2}[/tex]
må løses.
Den autonome differensialligningen
[tex]\ddot{x}=-\frac{GM}{(r+x)^2}[/tex]
må løses.
Det samme kommer jeg frem til.
[tex]\ddot y + \frac{GM}{y^2} = 0[/tex]
Men jeg har ikke snøring på hvordan den løses.
Mathematica gir meg
[tex]y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2 e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2u}\right),\qquad y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2 u}\right)[/tex]
der u = GM.
Problemet mitt nå er å finne [tex]C_1,\, C_2[/tex] som tilfredstiller randkravene. y[0] = r, og y'[0] = x.[/tex]
[tex]\ddot y + \frac{GM}{y^2} = 0[/tex]
Men jeg har ikke snøring på hvordan den løses.
Mathematica gir meg
[tex]y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2 e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2u}\right),\qquad y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2 u}\right)[/tex]
der u = GM.
Problemet mitt nå er å finne [tex]C_1,\, C_2[/tex] som tilfredstiller randkravene. y[0] = r, og y'[0] = x.[/tex]
http://projecteuler.net/ | fysmat
Den der inneholder den inverse erf funksjonen. Den er ikke/element'r, dvs det finnes ingen analytisk løsning gitt i elementære funksjoner.Gommle skrev:[tex]y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2 e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2u}\right),\qquad y(t)\to \exp \left(\frac{c_1-2 u \text{erf}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sqrt{u \left(c_2+t\right){}^2e^{-\frac{c_1}{u}}}\right){}^2}{2 u}\right)[/tex]
Det kom jeg frem til også, så jeg antar jeg må løse den numerisk.
Noen tips til hvordan det kan gjøres i Mathematica eller andre program?
Noen tips til hvordan det kan gjøres i Mathematica eller andre program?
http://projecteuler.net/ | fysmat