Ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Det ble til en ganske bruteforce løsning.
For den første ulikheten må vi vise at [tex]xy+yz+xy\geq 2xyz[/tex]
[tex]xy+yz+zx=(x+y+z)(xy+yz+zx)=x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)+3xyz\geq 9xyz\geq 2xyz[/tex]
Siden [tex]x,y,z[/tex] er ikkenegative.
Gjør ulikheten homogen og får at vi må vise følgende ulikhet
[tex]7(x+y+z)^3\geq 27((x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz)= 27(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)+xyz)[/tex]
[tex]7(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq 6(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
Så det gjenstår å vise denne ulikheten som heldigvis er litt mer håndterlig enn den opprinnelige ulikheten (ikke noe negative leddet)!
Fra Schur's ulikhet har vi at
[tex]x^3+y^3+z^3+3xyz\geq x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
I tillegg får vi fra AM-GM at
[tex]\large\frac13u^3+\frac13u^3+\frac13v^3\geq 3\sqrt[3]{\frac{u^6v^3}{27}}=u^2v[/tex]
Summerer vi denne for alle ordnede par fra [tex](x,y,z)[/tex] får vi at
[tex]2(x^3+y^3+z^3)\geq x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
Bruker vi begge disse resultatene får vi at
[tex]7(x^3+y^3+z^3)+15xyz=5(x^3+y^3+z^3+3xyz)+2(x^3+y^3+z^3)\geq6(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2))[/tex]
som ønsket!
For den første ulikheten må vi vise at [tex]xy+yz+xy\geq 2xyz[/tex]
[tex]xy+yz+zx=(x+y+z)(xy+yz+zx)=x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)+3xyz\geq 9xyz\geq 2xyz[/tex]
Siden [tex]x,y,z[/tex] er ikkenegative.
Gjør ulikheten homogen og får at vi må vise følgende ulikhet
[tex]7(x+y+z)^3\geq 27((x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz)= 27(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)+xyz)[/tex]
[tex]7(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq 6(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
Så det gjenstår å vise denne ulikheten som heldigvis er litt mer håndterlig enn den opprinnelige ulikheten (ikke noe negative leddet)!
Fra Schur's ulikhet har vi at
[tex]x^3+y^3+z^3+3xyz\geq x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
I tillegg får vi fra AM-GM at
[tex]\large\frac13u^3+\frac13u^3+\frac13v^3\geq 3\sqrt[3]{\frac{u^6v^3}{27}}=u^2v[/tex]
Summerer vi denne for alle ordnede par fra [tex](x,y,z)[/tex] får vi at
[tex]2(x^3+y^3+z^3)\geq x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)[/tex]
Bruker vi begge disse resultatene får vi at
[tex]7(x^3+y^3+z^3)+15xyz=5(x^3+y^3+z^3+3xyz)+2(x^3+y^3+z^3)\geq6(x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2))[/tex]
som ønsket!
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Oppfølger:
Vis at for positive reelle tall [tex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/tex] har vi at
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}2[/tex]
Vis at for positive reelle tall [tex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/tex] har vi at
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}2[/tex]
Nå er jeg såpass frekk at jeg prøver igjen. Har faktisk lest litt siden sist...og denne løsninga involverer ikke AM-GM og alle disse fiffige ulikhetene og manipulasjonene.Brahmagupta skrev:Oppfølger:
Vis at for positive reelle tall [tex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/tex] har vi at
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}2[/tex]
antar dette:
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+0,5x_2 \geq x_1[/tex]
[tex]\large\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+0,5x_3 \geq x_2[/tex]
.
.
.
[tex]\large\frac{x_n^2}{x_1+x_n}+0,5x_1 \geq x_n[/tex]
=======
summerer så disse ulikhetene og får:
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\geq 0,5x_1+0,5x_2+...+0,5x_n=0,5(x_1+x_2+...+x_n)[/tex]
holder dette?
======
Jeg har et forslag på første ulikheta til plutarco også. Der kom jeg ikke helt i mål... slenger inn dette i morra...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Antakelsen din holder ikke generelt.
[tex]\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac12 x_2\geq x_1[/tex]
[tex]x_1^2+\frac12x_2(x_1+x_2)\geq x_1(x_1+x_2)[/tex]
[tex]x_2^2+x_1x_2\geq2x_1x_2\Rightarrow x_2\geq x_1[/tex]
Hvis dette skal holde for alle [tex]x_i[/tex] følger det at [tex][x_1\leq x_2 \leq x_3 \leq\cdots \leq x_n\leq x_1] \Rightarrow [x_1=x_2=\cdots =x_n][/tex]
så det holder bare når alle variablene er like.
Hint1: (i hvitt): Finn en måte som skaper symmetri i hvert ledd på venstresiden.
Hint2: [tex](a-b)+(b-c)+(c-a)=0[/tex]
[tex]\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac12 x_2\geq x_1[/tex]
[tex]x_1^2+\frac12x_2(x_1+x_2)\geq x_1(x_1+x_2)[/tex]
[tex]x_2^2+x_1x_2\geq2x_1x_2\Rightarrow x_2\geq x_1[/tex]
Hvis dette skal holde for alle [tex]x_i[/tex] følger det at [tex][x_1\leq x_2 \leq x_3 \leq\cdots \leq x_n\leq x_1] \Rightarrow [x_1=x_2=\cdots =x_n][/tex]
så det holder bare når alle variablene er like.
Hint1: (i hvitt): Finn en måte som skaper symmetri i hvert ledd på venstresiden.
Hint2: [tex](a-b)+(b-c)+(c-a)=0[/tex]
Lettvintløsning med Jensen: La $f(x)=\frac{1}{1+x}$, som er konveks. Ulikheten fremkommer dermed siden
$x_1f(\frac{x_2}{x_1})+x_2f(\frac{x_3}{x_2})+...+x_nf(\frac{x_1}{x_n})\geq (x_1+x_2+...+x_n)f(\frac{x_1\frac{x_2}{x_1}+...+x_n\frac{x_1}{x_n}}{x_1+x_2+...+x_n})=(x_1+x_2+...+x_n)f(1)=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}$
$x_1f(\frac{x_2}{x_1})+x_2f(\frac{x_3}{x_2})+...+x_nf(\frac{x_1}{x_n})\geq (x_1+x_2+...+x_n)f(\frac{x_1\frac{x_2}{x_1}+...+x_n\frac{x_1}{x_n}}{x_1+x_2+...+x_n})=(x_1+x_2+...+x_n)f(1)=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{2}$
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Vakkert! Var ikke en slik løsning jeg hadde i tankene.
Alternativt
Observerer at $\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\frac{x_3^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_1^2}{x_n+x_1}$, altså er ulikheten ekvivalent med
$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2+x_3^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\geq x_1+x_2+...+x_n$ som følger siden $x_i^2+x_j^2\geq \frac{(x_i+x_j)^2}{2}$.
Observerer at $\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\frac{x_3^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_1^2}{x_n+x_1}$, altså er ulikheten ekvivalent med
$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2+x_3^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\geq x_1+x_2+...+x_n$ som følger siden $x_i^2+x_j^2\geq \frac{(x_i+x_j)^2}{2}$.
Her brukte jeg denne
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2% ... inequality
forslaget
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2}{x_1+x_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{2(x_1+x_2+...+x_n)}=\frac{(x_1+x_2+...+x_n)}{2}[/tex]
holder dette...
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2% ... inequality
forslaget
[tex]\large\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_2+x_3}+...+\frac{x_n^2}{x_1+x_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{2(x_1+x_2+...+x_n)}=\frac{(x_1+x_2+...+x_n)}{2}[/tex]
holder dette...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Litt sent svar, men ja det holder. Fin løsning!
Plutarco, det var den alternative løsningen din jeg hadde i tankene. Den er vel den mest grunnleggende løsningen, bruker ikke annet
enn at [tex]x^2+y^2\geq 2xy[/tex]!
Plutarco, det var den alternative løsningen din jeg hadde i tankene. Den er vel den mest grunnleggende løsningen, bruker ikke annet
enn at [tex]x^2+y^2\geq 2xy[/tex]!