Ulikhet

[Gustav]

Dersom $a,b,c>0$ og $a^2+b^2+c^2=3$, vis at

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac32$

[Janhaa]

Har ikke snøring på slike oppgaver, men ulikheten under gjelder iallfall for a = b = c = 1:

[tex]\large\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+bc}\ge\frac{1}{a^2+b^2}+ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\ge \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}\ge \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\ge \frac{1}{1+ab}\ge \frac{1}{a^2+b^2}\ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex]

der også

[tex]\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}={3\over 2}[/tex]

[Gustav]

Har ikke snøring på slike oppgaver, men ulikheten under gjelder iallfall for a = b = c = 1:

[tex]\large\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+bc}\ge\frac{1}{a^2+b^2}+ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\ge \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}\ge \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}\ge \frac{1}{1+ab}\ge \frac{1}{a^2+b^2}\ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex]

der også

[tex]\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}={3\over 2}[/tex]

Ser ikke helt hvordan du mener at den ulikheten skal løse problemet da uttrykket helt til høyre er $\frac13$

Hint: Fikk selv bruk for ulikheten $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2 $ underveis.


Hint 2: $f(x)=\frac{1}{1+x}$er konveks på $[0,\infty]$

[Brahmagupta]

Viser først at [tex]\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}\geq\frac9{x+y+z}[/tex]
for positive reelle tall [tex]x,y,z[/tex]

Rydder opp i nevnerne og får at
[tex]x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)\geq 6xyz[/tex]
som er sann siden [tex]u^2+v^2\geq 2uv[/tex]

Denne ulikheten følger også direkte fra Jensen's ulikhet siden [tex]f(x)=\frac1{x}[/tex] er konveks på [tex](0,\infty)[/tex]

Setter så [tex](x,y,z)=(1+ab,1+bc,1+ca)[/tex] og får
[tex]\frac1{1+ab}+\frac1{1+bc}+\frac1{ca}\geq \frac9{3+ab+bc+ac}\geq\frac9{3+a^2+b^2+c^2}=\frac32[/tex]

Hvor den siste ulikheten følger fra at [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]

[Gustav]

Viser først at [tex]\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}\geq\frac9{x+y+z}[/tex]
for positive reelle tall [tex]x,y,z[/tex]

Rydder opp i nevnerne og får at
[tex]x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)\geq 6xyz[/tex]
som er sann siden [tex]u^2+v^2\geq 2uv[/tex]

Denne ulikheten følger også direkte fra Jensen's ulikhet siden [tex]f(x)=\frac1{x}[/tex] er konveks på [tex](0,\infty)[/tex]

Setter så [tex](x,y,z)=(1+ab,1+bc,1+ca)[/tex] og får
[tex]\frac1{1+ab}+\frac1{1+bc}+\frac1{ca}\geq \frac9{3+ab+bc+ac}\geq\frac9{3+a^2+b^2+c^2}=\frac32[/tex]

Hvor den siste ulikheten følger fra at [tex](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]

Jepp, gjorde den på essensielt samme måte.