En ikke vanskelig ulikhet (vgs-nivå)

[Gustav]

For x,y>0 og x+y=1, vis at $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geq 9$

[Aleks855]

Prøver meg. Min erfaring med beviser er veldig begrenset.

Vi har at $x,y \in (0, 1)$ som gir $\frac1x , \frac1y > 1$

$x+y=1$ forteller videre at $y=1-x$ som gir $(1+\frac1x)(1+\frac1{1-x}) = \frac2{x(1-x)}+1$

Siden $x(1-x)$ har globalt toppunkt på $\frac14$, har $\frac2{x(1-x)}$ globalt bunnpunkt på 8. Ulikheten følger derfra.

Dette ble egentlig ren algebra. Har du penere løsning?

[Brahmagupta]

[tex](1+\frac1{x})(1+\frac1{y})=(2+\frac{y}{x})(2+\frac{x}{y})=4+2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1\geq4+4+1=9[/tex]

Første overgang setter jeg ettallet i teller lik [tex]x+y[/tex]. Den nest siste overgangen bruker jeg at [tex]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2[/tex] som er ekvivalent
med den sanne ulikheten [tex](\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0[/tex] som holder siden [tex]x,y>0[/tex].

[Gustav]

Dette ble egentlig ren algebra. Har du penere løsning?

Jeg vil heller karakterisere løsningen din som kalkuluspreget. Brahmaguptas løsning er dog "algebraisk", og er slik jeg løste den selv. Begge løsninger er selvsagt riktige.

PS: dette er forresten en av oppgavene i siste runde av den danske olympiaden i 1992. http://www.georgmohr.dk/gmopg.html