Tallteori
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Det er lett å se at [tex](x,y)=(0,\pm 2)[/tex] er en løsning. I tillegg kan vi se bort fra negative x-verdier siden det ikke gir noe heltall.
En liten omskriving gir
[tex]2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)[/tex]
Av dette ser man at enten [tex]y-1[/tex] eller [tex]y+1[/tex] har en faktor [tex]2^{x-1}[/tex] og den andre er partall. Ved å substituere
[tex]y\pm 1= k2^{x-1}[/tex] får vi at
[tex]2^x(1+2^{x+1})=k2^{x-1}(k2^{x-1}\pm 2)=k2^x(k2^{x-2}\pm1)[/tex]
[tex]1+2^{x+1}=k(k2^{x-2}\pm 1)[/tex]
Her kan man se at [tex]k[/tex] ikke kan være så veldig stor siden da blir høyre siden større enn venstre og at [tex]k[/tex] må være odd.
Mer presist for [tex]k\geq4[/tex] har vi at
[tex]k(k2^{x-2}\pm 1)\geq4(2^x\pm 1)=2^{x+2}\pm4[/tex]
[tex]2^{x+2}+4\geq 1+2^{x+1}[/tex] for alle [tex]x[/tex]
[tex]2^{x+2}-4\geq 2^{x+1}+1[/tex] for [tex]x\geq2[/tex]
Ved å sette [tex]x=1,2[/tex] ser vi at dette ikke gir noen løsning så vi har at [tex]k=1,3[/tex]
[tex]k=1[/tex] gir [tex]1+2^{x+1}=2^{x-2}\pm1[/tex] som både for den positive og negative verdien ikke er mulig.
[tex]k=3[/tex] gir
[tex]1+2^{x+1}=9\cdot 2^{x-2}+3[/tex]
og
[tex]1+2^{x+1}=9\cdot 2^{x-2}-3[/tex]
Fra den første får vi at
[tex]2(2^x-1)=9\cdot2^{x-2}[/tex]
[tex]2^x=9\cdot2^{x-3}+1[/tex]
som ikke har noen løsninger siden høyresiden er odd.
Den andre gir at
[tex]4(1+2^{x-1})=9\cdot 2^{x-2}[/tex]
[tex]1+2^{x-1}=9\cdot 2^{x-4}[/tex]
Her er har vi samme problem bortsett fra at for [tex]x=4[/tex] har vi at høyre side også er odd og likheten holder.
Dette gir nok en løsning. [tex]y+1=k2^{x-1}=24 \Rightarrow y=23[/tex]
Så alle løsningene er [tex](x,y)=(0,\pm2),(4,\pm23)[/tex]
Mener å ha sett oppgaven før, den er vel fra IMO?
En liten omskriving gir
[tex]2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)[/tex]
Av dette ser man at enten [tex]y-1[/tex] eller [tex]y+1[/tex] har en faktor [tex]2^{x-1}[/tex] og den andre er partall. Ved å substituere
[tex]y\pm 1= k2^{x-1}[/tex] får vi at
[tex]2^x(1+2^{x+1})=k2^{x-1}(k2^{x-1}\pm 2)=k2^x(k2^{x-2}\pm1)[/tex]
[tex]1+2^{x+1}=k(k2^{x-2}\pm 1)[/tex]
Her kan man se at [tex]k[/tex] ikke kan være så veldig stor siden da blir høyre siden større enn venstre og at [tex]k[/tex] må være odd.
Mer presist for [tex]k\geq4[/tex] har vi at
[tex]k(k2^{x-2}\pm 1)\geq4(2^x\pm 1)=2^{x+2}\pm4[/tex]
[tex]2^{x+2}+4\geq 1+2^{x+1}[/tex] for alle [tex]x[/tex]
[tex]2^{x+2}-4\geq 2^{x+1}+1[/tex] for [tex]x\geq2[/tex]
Ved å sette [tex]x=1,2[/tex] ser vi at dette ikke gir noen løsning så vi har at [tex]k=1,3[/tex]
[tex]k=1[/tex] gir [tex]1+2^{x+1}=2^{x-2}\pm1[/tex] som både for den positive og negative verdien ikke er mulig.
[tex]k=3[/tex] gir
[tex]1+2^{x+1}=9\cdot 2^{x-2}+3[/tex]
og
[tex]1+2^{x+1}=9\cdot 2^{x-2}-3[/tex]
Fra den første får vi at
[tex]2(2^x-1)=9\cdot2^{x-2}[/tex]
[tex]2^x=9\cdot2^{x-3}+1[/tex]
som ikke har noen løsninger siden høyresiden er odd.
Den andre gir at
[tex]4(1+2^{x-1})=9\cdot 2^{x-2}[/tex]
[tex]1+2^{x-1}=9\cdot 2^{x-4}[/tex]
Her er har vi samme problem bortsett fra at for [tex]x=4[/tex] har vi at høyre side også er odd og likheten holder.
Dette gir nok en løsning. [tex]y+1=k2^{x-1}=24 \Rightarrow y=23[/tex]
Så alle løsningene er [tex](x,y)=(0,\pm2),(4,\pm23)[/tex]
Mener å ha sett oppgaven før, den er vel fra IMO?
Hadde en lignende fremgangsmåte, dog litt ulikt:
$2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)$.
For x>2 må y være odde, så lar y=2z+1 og w=x-2. Får ligningen $2^w(1+2^{w+3})=z(z+1)$. Altså må $2^w$ dele enten z eller z+1. De to faktorene på høyresida må derfor være på formen $n2^w$ og $\frac{1+2^{w+3}}{n}$. Det er nå lett å se at n må være et oddetall ikke større enn 3 i absoluttverdi, ellers blir den ene faktoren større enn dobbelt så stor som den andre, noe som er umulig siden de er to påfølgende heltall.
$2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)$.
For x>2 må y være odde, så lar y=2z+1 og w=x-2. Får ligningen $2^w(1+2^{w+3})=z(z+1)$. Altså må $2^w$ dele enten z eller z+1. De to faktorene på høyresida må derfor være på formen $n2^w$ og $\frac{1+2^{w+3}}{n}$. Det er nå lett å se at n må være et oddetall ikke større enn 3 i absoluttverdi, ellers blir den ene faktoren større enn dobbelt så stor som den andre, noe som er umulig siden de er to påfølgende heltall.