Problem fra den greske matematikkolympiaden

[Gustav]

La funksjonen $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ inneha følgende egenskaper:

1) $f$ er strengt voksende
2) $f(x)>-\frac{1}{x}$ for alle $x>0$
3) $f(x)\cdot f(\,f(x)+\frac{1}{x})=1$ for alle $x>0$

Finn $f(1)$.

EDIT: 1) var i utgangspunktet feil

[Audunss]

Prøver meg på en løsning:

Setter først $x=1$, og får:
$f(1)f(f(1)+1)=1$
Som betyr at:
$f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}$

Bruker så $x=f(1)+1$, og får:
$f(f(1)+1)f(f(f(1)+1)+\frac{1}{f(1)+1})=1$
Bruker så at $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}$.
$f(f(1)+1)f(\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(1)+1})=1$
Trekker sammen brøkene:
$f(f(1)+1)f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=1$
Setter dette lik den første likningen:
$f(f(1)+1)f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=f(1)f(f(1)+1)$
Stryker $f(f(1)+1)$:
$f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=f(1)$
Bruker at $f$ er injektiv:
$\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)}=1$
$2f(1)+1=f(1)^2+f(1)$
$f(1)^2-f(1)-1=0$
løsninger:
$f(1)=\frac12(1-\sqrt 5)$
$f(1)=\frac12(1+\sqrt 5)$

Så langt kommer jeg, om alt er rett til nå klarer jeg ikke åavgjøre hvilken løsning som er riktig, antar at egenskap (2) må brukes.

[Gustav]

Det du har gjort er riktig. Beklageligvis har det sneket seg inn en feil i oppgaveteksten, som nå er rettet opp.

[Audunss]

Fint, da skal det vell være mulig å identifisere en løsning.

Bruker at $f$ er strengt voksende, og antar $f(1)=\frac12 (1-\sqrt 5)<0$.

Da er $f(1)+1<1$, så vi må ha $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}<f(1)$.

Ganger med $f(1)$ på begge sider og snur ulikheten, og får:

$f^2(1)<1$, som holder siden $f^2(1)=\frac 14(1-\sqrt 5)^2<1$

Gjør det samme med $f(1)=\frac12 (1+\sqrt 5)>0$.

Da må $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}>f(1)$.

Som ikke holder siden $f(1)>1$, dermed er $f(1)=\frac12 (1-\sqrt 5)$.

[Gustav]

Korrekt!