Sum av uendelig rekke via Riemann-sum!

[Determined]

Vis at $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} (\sum_{i=1}^n \sqrt{i}) = \frac{2}{3}$ ved å gjenkjenne venstresiden som en Riemann-sum for integralet $\int_0^1 \sqrt{x}dx$.

[Determined]

Mer av det samme:

Finn grenseverdien $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}}$.

Ganske morsomme oppgaver.

[Brahmagupta]

Her er en løsning til den andre som ikke benytter integralregning.

Setter først [tex]S(n) = \sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex]
Tanken er å finne en øvre og nedre grense for summen og deretter bruke Sandwich teoremet for å finne grensen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem

Viser først ulikheten [tex]2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})\leq\frac1{\sqrt{i}}\leq 2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1})[/tex]
Tar kun den ene ulikheten siden andre vises helt på samme måte. Vi har at

[tex]\sqrt{i+1}-\sqrt{i}=\frac{(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})(\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}=\frac1{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}\leq\frac1{2\sqrt{i}}[/tex]

og ulikhteten følger ved å gange med 2 på begge sider.

Videre ved å summere ulikheten for [tex]i=1,2,3,...,n[/tex] og deretter dele på [tex]n[/tex] får vi at
[tex]2\frac{(\sqrt{n+1}-1)}{n}\leq\frac{S(n)}{n}\leq2\frac{\sqrt{n}}{n}[/tex]

Tar man så grenseverdien får man at
[tex]0\leq\frac{S(n)}{n}\leq0[/tex]
så grenseverdien må være 0.

Hvis summen i stedet hadde vært [tex]\frac1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex] ,
som jeg mistenker det skulle være, så ville grenseverdien blitt 2.

[Determined]

Hvis summen i stedet hadde vært [tex]\frac1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex] ,
som jeg mistenker det skulle være, så ville grenseverdien blitt 2.

Hm, ja. Beklager. $\frac1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}$ var meningen.

[Hoksalon]

Vis at $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} (\sum_{i=1}^n \sqrt{i}) = \frac{2}{3}$ ved å gjenkjenne venstresiden som en Riemann-sum for integralet $\int_0^1 \sqrt{x}dx$.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} (\sum_{i=1}^n \sqrt{i}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{i}{n}}) = \lim_{n \rightarrow \infty} ((\frac{i+1}{n} - \frac{i}{n})(\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{i}{n}})) = \int_0^1 \sqrt{x} dx$

[Determined]

Her er mitt forslag:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2/3}} \sum_1^n \sqrt{i} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_1^n \sqrt{\frac{i}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_1^n \sqrt{x_i} = \int_0^1 \sqrt{x} dx$

[Determined]

Her er en løsning til den andre som ikke benytter integralregning.

Setter først [tex]S(n) = \sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex]
Tanken er å finne en øvre og nedre grense for summen og deretter bruke Sandwich teoremet for å finne grensen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_theorem

Viser først ulikheten [tex]2(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})\leq\frac1{\sqrt{i}}\leq 2(\sqrt{i}-\sqrt{i-1})[/tex]
Tar kun den ene ulikheten siden andre vises helt på samme måte. Vi har at

[tex]\sqrt{i+1}-\sqrt{i}=\frac{(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})(\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}=\frac1{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}\leq\frac1{2\sqrt{i}}[/tex]

og ulikhteten følger ved å gange med 2 på begge sider.

Videre ved å summere ulikheten for [tex]i=1,2,3,...,n[/tex] og deretter dele på [tex]n[/tex] får vi at
[tex]2\frac{(\sqrt{n+1}-1)}{n}\leq\frac{S(n)}{n}\leq2\frac{\sqrt{n}}{n}[/tex]

Tar man så grenseverdien får man at
[tex]0\leq\frac{S(n)}{n}\leq0[/tex]
så grenseverdien må være 0.

Hvis summen i stedet hadde vært [tex]\frac1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n{\frac1{\sqrt{i}}}[/tex] ,
som jeg mistenker det skulle være, så ville grenseverdien blitt 2.

Ganske kul løsning!