Funksjonalligning

[Gustav]

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at

\begin{equation}
f\left (y\,f(x+y)+f(x)\right )=4x+2y\,f(x+y)
\end{equation}
for alle $x,y\in\mathbb{R}$.

[Determined]

Beklager for å gå off topic, men hva slags matematikk er dette?

Aldri sett noe lignende!

[Gustav]

Beklager for å gå off topic, men hva slags matematikk er dette?

Aldri sett noe lignende!

Funksjonalligninger går igjen veldig ofte i mattekonkurranser som IMO og Abel. En funksjonalligning er en ligning i f(x), altså løsningen er en funksjon, ikke et tall som i vanlige ligninger. Ofte er det bare noen få muligheter for f(x) som kan være lette å se. Utfordringen blir da å bruke funksjonalligningen til å bevise at det ikke fins andre løsninger. For mer info: http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_equation

[Brahmagupta]

Setter [tex]y=0[/tex] og får [tex]f(f(x))=4x[/tex] som også gir
[tex]f(f(f(x)))=f(4x) \Rightarrow 4f(x)=f(4x)[/tex]
[tex]x=0[/tex] gir i den siste ligningen [tex]4f(0)=f(0) \Rightarrow 3f(0) = 0 \Rightarrow f(0)=0[/tex]

Setter deretter [tex]x=0[/tex]
[tex]f(yf(y))=2yf(y)[/tex]
[tex]y=1[/tex] gir videre [tex]f(f(1))=2f(1) \Rightarrow 4=2f(1) \Rightarrow f(1)=2[/tex]
Dermed er også [tex]f(4)=4f(1)=8[/tex]

Setter [tex]x+y=1[/tex]
[tex]f(yf(1)+f(x))=4x+2yf(1)[/tex]
[tex]f(2(1-x)+f(x))=4x+4(x-1)=4[/tex]

Benytter f på begge sider og bruker at [tex]f(f(x))=4x[/tex] og at [tex]f(4)=8[/tex]
[tex]f(f(2(1-x)+f(x)))=f(4)[/tex]
[tex]4(2(1-x)+f(x))=8[/tex]
[tex]2-2x+f(x)=2 \Rightarrow f(x)=2x[/tex]

Det er lett å se at denne fungerer ved innsettelse i ligningen. Dette må også være den eneste løsningen siden enhver funksjon som
oppfyller den opprinnelige ligningen må også oppfylle [tex]f(x)=2x[/tex].

[Gustav]

Riktig!