Nok en ulikhet

[Gustav]

La a,b og c være reelle tall ulik 0 slik at $a\geq b\geq c$. Vis at

$\frac{a^3-c^3}{3}\geq abc\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}\right )$.

Når er det likhet?

[Solar Plexsus]

Nå er

$\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} = \frac{a(a-b) + c(b-c)}{ac} = \frac{a^2-c^2 - b(a-c)}{ac} = \frac{(a-c)(a-b+c)}{ac}$.

Herav følger at ulikheten

$(1) \;\; \frac{a^3-c^3}{3} \: \geq \: abc(\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a})$

er ekvivalent med

$\frac{(a-c)(a^2+ac+c^2)}{3} \: \geq \: abc \frac{(a-c)(a-b+c)}{ac}$,

i.e.

$\frac{a^2+ac+c^2}{3} \: \geq \: b(a-b+c)$

ettersom $a-c>0$. Videre er

$b(a-b+c) = -b^2 + (a+c)b = -(b - \frac{a+c}{2})^2 + (\frac{a+c}{2})^2 \leq \frac{(a+c)^2}{4} \leq \frac{a^2 + ac + c^2}{3}$,

der den siste ulikheten er ekvivalent med $a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2 \geq 0$.

Med andre ord er

$(2) \;\; \frac{(a-c)(a^2+ac+c^2)}{3} \: \geq \: \frac{(a+c)^2}{4} \: \geq \: b \frac{(a-c)(a-b+c)}{ac}$.

Likhet i (1) har vi kun når $\geq$ erstattes med = i (2), altså når $a - c = 0$ og $b - \frac{a+c}{2} = 0$, dvs. når $a=b=c$.

[Gustav]

Ser riktig ut. Alternativt er

$a^2+c^2+3b^2+ac-3ab-3bc \geq 0$ ekvivalent med

$(a-2b+c)^2+(a-b)(b-c)\geq 0$, som holder siden begge ledd er ikkenegative, med likhet når begge ledd er $0$, ie. $a=b=c$