Atter en ulikhet 2

[Gustav]

For reelle tall $c_i$ og positive heltall $n$, vis at

$\sqrt{c_1^2+(1-c_2)^2}+\sqrt{c_2^2+(1-c_3)^2}+\sqrt{c_3^2+(1-c_4)^2}+\cdots +\sqrt{c_{n-1}^2+(1-c_n)^2}+ \sqrt{c_n^2+(1-c_1)^2}\geq \frac{n\sqrt{2}}{2}$

[Brahmagupta]

[tex](x-y)^2\geq0 \Rightarrow 2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt2}2 (x+y)[/tex]

[tex]\sqrt{c_1^2+(1-c_2)^2} \geq \frac{\sqrt2}2 (c_1+1-c_2)[/tex]

Så følger den opprinnelige ulikheten ved å summere denne ulikheten over alle leddene.
Likhet oppnås når [tex]c_1=(1-c_2)[/tex] og [tex]c_2=(1-c_3)[/tex] osv. som gir at alle variablene er lik en halv.