$\not \in\mathbb{Z}$
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
La først n være partall, da finnes det i følge Bertrands postulat et primtall mellom n og halvparten av n (n/2 større enn 3).
Kall dette primtallet p.
Setter uttrykket på felles brøkstrek slik at nevneren er n fakultet.
[tex]\Large\frac{\frac{n!}2+\frac{n!}3+\cdots+\frac{n!}{p}+\cdots+\frac{n!}{n}}{n!}[/tex]
Her er alle ledden i teller heltall. I nevneren finnes faktoren p. I tillegg finnes faktoren p
i alle leddene i teller unntatt et, det leddet som blir til av [tex]\frac1{p}[/tex]. Det betyr at for at uttrykket skal være heltall må dette leddet ha en annen faktor som
er delelig med p, men dette er umulig siden p er større enn halvparten av n og uttrykket kan ikke være heltall siden på ikke kan forkortes bort.
Hvis n er oddetall kan man finne et primtall mellom n+1 og halvparten av dette og samme argument holder.
Kall dette primtallet p.
Setter uttrykket på felles brøkstrek slik at nevneren er n fakultet.
[tex]\Large\frac{\frac{n!}2+\frac{n!}3+\cdots+\frac{n!}{p}+\cdots+\frac{n!}{n}}{n!}[/tex]
Her er alle ledden i teller heltall. I nevneren finnes faktoren p. I tillegg finnes faktoren p
i alle leddene i teller unntatt et, det leddet som blir til av [tex]\frac1{p}[/tex]. Det betyr at for at uttrykket skal være heltall må dette leddet ha en annen faktor som
er delelig med p, men dette er umulig siden p er større enn halvparten av n og uttrykket kan ikke være heltall siden på ikke kan forkortes bort.
Hvis n er oddetall kan man finne et primtall mellom n+1 og halvparten av dette og samme argument holder.
Ser riktig ut. Litt annerledes enn den løsningen jeg kom frem til: La $p$ være det største naturlige tallet slik at $2^p$ deler n!. La $q$ være det største tallet slik at det fins en (unik) heltallig $0<m\leq n$ som er delelig med $2^q$. Da er $p>q$ dersom $n>3$. Nevneren $n!$ vil da være delelig med $2^{p-q+1}$, og alle leddene i telleren unntatt $\frac{n!}{m}$ vil være delelig med $2^{p-q+1}$.