Enda en primtallsfølge
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta at ikke alle primtall inntreffer, og la q være det minste primtall som ikke inntreffer. La [tex]p_N[/tex] være det største primtallet mindre enn q. Vi betrakter så [tex]a_n=np_1^{1!}p_2^{2!}...p_n^{n!}+1[/tex] modulo [tex]q[/tex] for [tex]n \geq \max(N,q-1)[/tex].
Definer [tex]P = p_1^{1!}p_2^{2!}...p_{q-2}^{(q-2)!}[/tex], og observer at [tex]q[/tex] ikke deler [tex]P[/tex].
Nå har vi at [tex]p_n^{n!} = 1 (\text{mod}q)[/tex] for [tex]n \geq q-1[/tex] av fermats lille, og dermed er [tex]a_n=np_1^{1!}p_2^{2!}...p_{q-2}^{(q-2)!}p_{q-1}^{(q-1)!}...p_{n}^{n!}+1 = nP+1(\text{mod}q).[/tex]
Velger vi nå [tex]n[/tex] i restklassen [tex]-\frac{1}{P}[/tex], får vi at [tex]a_n = 0 (\text{mod}q)[/tex], og det er en motsigelse, ettersom [tex]q[/tex] nå er det minste primtallet som deler [tex]a_n[/tex]. Alle primtall må altså inntreffe.
Definer [tex]P = p_1^{1!}p_2^{2!}...p_{q-2}^{(q-2)!}[/tex], og observer at [tex]q[/tex] ikke deler [tex]P[/tex].
Nå har vi at [tex]p_n^{n!} = 1 (\text{mod}q)[/tex] for [tex]n \geq q-1[/tex] av fermats lille, og dermed er [tex]a_n=np_1^{1!}p_2^{2!}...p_{q-2}^{(q-2)!}p_{q-1}^{(q-1)!}...p_{n}^{n!}+1 = nP+1(\text{mod}q).[/tex]
Velger vi nå [tex]n[/tex] i restklassen [tex]-\frac{1}{P}[/tex], får vi at [tex]a_n = 0 (\text{mod}q)[/tex], og det er en motsigelse, ettersom [tex]q[/tex] nå er det minste primtallet som deler [tex]a_n[/tex]. Alle primtall må altså inntreffe.