Eisensteins kriterium
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]P(x)=a_nx^n + \ldots a_0[/tex] være et polynom med heltallige koeffisienter, og anta at det finnes et primtall [tex]p[/tex] slik at [tex] p \ a_i[/tex] for alle heltallige [tex]0 \leq i \leq n-1[/tex], men [tex]p \not | a_n[/tex] og [tex] p^2 \not | a_0[/tex]. Vis at [tex]P(x)[/tex] er irredusibel over heltallene. (Dvs at det ikke finnes to polynomer [tex]A(x)[/tex] og [tex]B(x)[/tex] med grad minst én slik at [tex]P(x)=A(x)B(x)[/tex].) Det følger også av dette at [tex]P(x)[/tex] er irredusibel over [tex]\mathbb{Q}[/tex].
La [tex]A(x) = \sum^k_{i=0} c_ix^i[/tex] og [tex]B(x) = \sum^r_{i=0} b_ix^i[/tex], hvor [tex]k+r=n[/tex].
Vi har at [tex]A(x)B(x) = \sum^n_{t=0} \left( \sum_{i+j=t}c_ib_j \right) x^t[/tex]. Av hypotesen vil [tex]p || c_0b_0[/tex]. Da kan vi anta uten tap av generalitet at [tex]p | c_0[/tex], og dermed [tex]p \not |b_0[/tex].
Anta nå at [tex]p | c_s[/tex] for [tex]s<N \leq k[/tex] for et heltall [tex]N[/tex]. Siden [tex]p | \sum_{i+j=s+1} c_ib_j=c_{s+1}b_0+c_{s}b_1+...+c_{s+1-\min(s+1,r)}b_{\min(s+1,r)} \Rightarrow p |c_{s+1}[/tex].
Siden [tex]p | c_0[/tex], betyr det ved induksjon at [tex]p | c_N[/tex] for [tex]0 \leq N \leq k[/tex], men dette er en motsigelse ettersom det [tex]n+1[/tex]'ste leddet [tex]c_kb_r[/tex] ikke er delelig med [tex]p[/tex].
Vi kan føre et lignende bevis for tellerne i [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] dersom de har rasjonale koeffisienter.
EDIT: "tellerne", ikke "nevnerne".
Vi har at [tex]A(x)B(x) = \sum^n_{t=0} \left( \sum_{i+j=t}c_ib_j \right) x^t[/tex]. Av hypotesen vil [tex]p || c_0b_0[/tex]. Da kan vi anta uten tap av generalitet at [tex]p | c_0[/tex], og dermed [tex]p \not |b_0[/tex].
Anta nå at [tex]p | c_s[/tex] for [tex]s<N \leq k[/tex] for et heltall [tex]N[/tex]. Siden [tex]p | \sum_{i+j=s+1} c_ib_j=c_{s+1}b_0+c_{s}b_1+...+c_{s+1-\min(s+1,r)}b_{\min(s+1,r)} \Rightarrow p |c_{s+1}[/tex].
Siden [tex]p | c_0[/tex], betyr det ved induksjon at [tex]p | c_N[/tex] for [tex]0 \leq N \leq k[/tex], men dette er en motsigelse ettersom det [tex]n+1[/tex]'ste leddet [tex]c_kb_r[/tex] ikke er delelig med [tex]p[/tex].
Vi kan føre et lignende bevis for tellerne i [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] dersom de har rasjonale koeffisienter.
EDIT: "tellerne", ikke "nevnerne".
Sist redigert av Charlatan den 08/02-2010 09:18, redigert 2 ganger totalt.
Veldig bra. Beviset ditt dekker forøvrig også generaliseringen der [tex]p|a_i[/tex] for [tex]0 \leq i \leq k[/tex], men [tex]p \not | a_{k+1}[/tex] og [tex]p^2 \not | a_0[/tex], og konklusjonen er at [tex]P(x)[/tex] har en irredusibel faktor av grad minst [tex]k+1[/tex].[/url]