Hvilke positive heltall mangler i følgen
[tex]\langle a_n=n+\lfloor \sqrt{n}\rfloor +\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor\rangle_{n\geq 1}[/tex] ?
Heltallsfølge
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta at følgen begynner med [tex]n=0[/tex], og [tex]a_0=0[/tex] for å gjøre det følgende fornuftig:
Følgen gjør alltid et "hopp" over et heltall for hvert ikke-kubisk kvadrat [tex]a^2[/tex] (for hver ikke-kube [tex]a[/tex]):
Da fjernes tallet [tex]a^2+a + \lfloor \sqrt[3]{a^2} \rfloor-1[/tex]
Tilsvarende gjør man et hopp over de ikke-kvadratiske kubene [tex]b^3[/tex] (for hvert ikke-kvadrat [tex]b[/tex]):
Da fjernes tallet [tex]b^3+b-1+\lfloor \sqrt{b^3} \rfloor[/tex]
Vi gjør i tillegg to hopp for hver kvadratisk kube [tex]c^6[/tex] (for hver [tex]c[/tex]):
Da fjernes tallene [tex]c^6+c^3+c^2-2[/tex], og [tex]c^6+c^3+c^2-1[/tex]
Disse tallene utgjør tre disjunkte følger ettersom et tall alltid enten er kubisk og ikke-kvadratisk, kvadratisk og ikke-kubisk, eller kvadratisk og kubisk. Tallene utgjør også alle tallene som utelukkes ettersom følgen aldri hopper over et tall med mindre det er en kube eller et kvadrat.
Oppfølgere:
Hvilke naturlige tall utelukkes i følgen [tex]a_n=n+\sum^N_{k=1} \lfloor \sqrt[b_k]{n} \rfloor = n+\lfloor \sqrt[b_1]{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[b_2]{n} \rfloor +...+\lfloor \sqrt[b_N]{n} \rfloor[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex], og en positiv og strengt stigende heltallsfølge [tex]b_i[/tex] hvor [tex]\gcd(b_i,b_j)=1[/tex] for alle [tex]i \not = j[/tex]?
Hva med [tex]a_n=n+\sum_{p \in \mathbb{P}} \lfloor \sqrt[p]{n} -1 \rfloor = n+\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} -1 \rfloor +...[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex]?
Følgen gjør alltid et "hopp" over et heltall for hvert ikke-kubisk kvadrat [tex]a^2[/tex] (for hver ikke-kube [tex]a[/tex]):
Da fjernes tallet [tex]a^2+a + \lfloor \sqrt[3]{a^2} \rfloor-1[/tex]
Tilsvarende gjør man et hopp over de ikke-kvadratiske kubene [tex]b^3[/tex] (for hvert ikke-kvadrat [tex]b[/tex]):
Da fjernes tallet [tex]b^3+b-1+\lfloor \sqrt{b^3} \rfloor[/tex]
Vi gjør i tillegg to hopp for hver kvadratisk kube [tex]c^6[/tex] (for hver [tex]c[/tex]):
Da fjernes tallene [tex]c^6+c^3+c^2-2[/tex], og [tex]c^6+c^3+c^2-1[/tex]
Disse tallene utgjør tre disjunkte følger ettersom et tall alltid enten er kubisk og ikke-kvadratisk, kvadratisk og ikke-kubisk, eller kvadratisk og kubisk. Tallene utgjør også alle tallene som utelukkes ettersom følgen aldri hopper over et tall med mindre det er en kube eller et kvadrat.
Oppfølgere:
Hvilke naturlige tall utelukkes i følgen [tex]a_n=n+\sum^N_{k=1} \lfloor \sqrt[b_k]{n} \rfloor = n+\lfloor \sqrt[b_1]{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[b_2]{n} \rfloor +...+\lfloor \sqrt[b_N]{n} \rfloor[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex], og en positiv og strengt stigende heltallsfølge [tex]b_i[/tex] hvor [tex]\gcd(b_i,b_j)=1[/tex] for alle [tex]i \not = j[/tex]?
Hva med [tex]a_n=n+\sum_{p \in \mathbb{P}} \lfloor \sqrt[p]{n} -1 \rfloor = n+\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} -1 \rfloor +...[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex]?