La [tex]G[/tex] være en gruppe med identitet [tex]e[/tex] og [tex]\phi : G \to G[/tex] være en funksjon slik at
[tex]g_1g_2g_3=h_1h_2h_3=e \Rightarrow \phi(g_1)\phi(g_2)\phi(g_3)=\phi(h_1)\phi(h_2)\phi(h_3)[/tex].
Vis at det eksisterer et element [tex]a \in G[/tex] slik at [tex]\psi(x)=a\phi(x)[/tex] er en homomorfisk funksjon.
(Dvs [tex]\psi(xy)=\psi(x)\psi(y)[/tex] for alle [tex]x,y \in G[/tex])
Enda en gruppeoppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Kan det stemme at det skal være ekvivalens der? I så fall blir oppgaven ganske enkel, for siden [tex]a a^{-1} e =b b^{-1}e = e[/tex] må [tex]\phi(a) \phi(a^{-1}) \phi(e) = \phi(b) \phi (b^{-1}) \phi (e)[/tex], som gir at [tex]\phi(a) \phi(a^{-1}) = \phi(b) \phi(b^{-1})[/tex]. 'Ganger' vi med [tex]\phi(x)[/tex] for en vilkårlig [tex]x[/tex] og bruker ekvivalensen får vi at [tex]aa^{-1}x=bb^{-1}x=e[/tex], som gir [tex]x=e[/tex], så gruppen inneholder kun identiteten [tex]e[/tex], og [tex]a=\phi(e)=e[/tex] oppfyller kravene greit.
Siden [tex]aa^{-1}e=eee=e[/tex] har vi at [tex]\phi(a) \phi(a^{-1}) = (\phi(e))^2[/tex], som gir at [tex]\phi(a^{-1})=F^2(\phi(a))^{-1}[/tex] der [tex]F=\phi(e)[/tex].
Vi legger også merke til at siden [tex]aea^{-1}=eaa^{-1}[/tex] er [tex]\phi(a) F \phi(a^{-1}) = F \phi(a) \phi(a^{-1})[/tex], som gir at [tex]F\phi(a)=\phi(a)F[/tex] for alle [tex]\phi(a)[/tex].
Siden [tex]ab(ab)^{-1}=e^3[/tex] har vi altså at [tex]F^3 = \phi(a) \phi(b) \phi((ab)^{-1}) = \phi(a)\phi(b)F^2(\phi(ab))^{-1}[/tex] der vi brukte den første identiteten vi viste. Dette omformer vi til [tex]F^3 \phi(ab)=\phi(a)\phi(b) F^2[/tex], som (siden [tex]\phi(x)F=F\phi(x)[/tex], som betyr at tilsvarende gjelder for [tex]F^{-1}[/tex]) videre gir at [tex]F^{-1}\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)F^{-2}=F^{-1}\phi(a)F^{-1}\phi(b)[/tex], som om vi setter [tex]a=F^{-1}[/tex] og derfor [tex]\psi(x)=F^{-1}\phi(x)[/tex] gir at [tex]\psi(ab)=\psi(a)\psi(b)[/tex] som ønsket.
Vi legger også merke til at siden [tex]aea^{-1}=eaa^{-1}[/tex] er [tex]\phi(a) F \phi(a^{-1}) = F \phi(a) \phi(a^{-1})[/tex], som gir at [tex]F\phi(a)=\phi(a)F[/tex] for alle [tex]\phi(a)[/tex].
Siden [tex]ab(ab)^{-1}=e^3[/tex] har vi altså at [tex]F^3 = \phi(a) \phi(b) \phi((ab)^{-1}) = \phi(a)\phi(b)F^2(\phi(ab))^{-1}[/tex] der vi brukte den første identiteten vi viste. Dette omformer vi til [tex]F^3 \phi(ab)=\phi(a)\phi(b) F^2[/tex], som (siden [tex]\phi(x)F=F\phi(x)[/tex], som betyr at tilsvarende gjelder for [tex]F^{-1}[/tex]) videre gir at [tex]F^{-1}\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)F^{-2}=F^{-1}\phi(a)F^{-1}\phi(b)[/tex], som om vi setter [tex]a=F^{-1}[/tex] og derfor [tex]\psi(x)=F^{-1}\phi(x)[/tex] gir at [tex]\psi(ab)=\psi(a)\psi(b)[/tex] som ønsket.