Fullstendig forkortet brøk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Min løsning:
Vi må vise at det ikke finnes noen [tex]k,T^\prime,N^\prime \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\frac TN = \frac{kT^\prime}{kN^\prime} = \frac {T^\prime}{N^\prime}[/tex].
[tex]T = a^3+2a = a(a^2+2)[/tex], som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a[/tex] eller [tex](a+2)[/tex].
[tex]N = a^4 + 3a^2 + 1[/tex] kan ikke faktoriseres, som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a^4 + 3a^2 + 1[/tex].
Men vi ser at verken [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a[/tex] eller [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a^2+2[/tex] gir løsninger i [tex]\mathbb{N}[/tex], så det finnes ingen slik [tex]k[/tex]. Brøken er fullstendig forkortet.
Vi må vise at det ikke finnes noen [tex]k,T^\prime,N^\prime \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\frac TN = \frac{kT^\prime}{kN^\prime} = \frac {T^\prime}{N^\prime}[/tex].
[tex]T = a^3+2a = a(a^2+2)[/tex], som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a[/tex] eller [tex](a+2)[/tex].
[tex]N = a^4 + 3a^2 + 1[/tex] kan ikke faktoriseres, som betyr at en eventuell [tex]k[/tex] må være lik [tex]a^4 + 3a^2 + 1[/tex].
Men vi ser at verken [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a[/tex] eller [tex]a^4 + 3a^2 + 1 = a^2+2[/tex] gir løsninger i [tex]\mathbb{N}[/tex], så det finnes ingen slik [tex]k[/tex]. Brøken er fullstendig forkortet.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det følger fra identiteten [tex](a^2+1)(a^4+3a^2+1)-(a^3+2)(a^3+2)=1[/tex] som man kan finne for eksempel ved hjelp av Euklids algoritme.
Jeg trur ikke den forrige løsninga holder: a(a^2+2) kan godt ha andre faktorer enn a og a^2+2.
Jeg trur ikke den forrige løsninga holder: a(a^2+2) kan godt ha andre faktorer enn a og a^2+2.