Røtter i aritmetisk progresjon

[Emilga]

Bestem [tex]m[/tex] slik at de fire reelle løsningene til [tex]x^4 - (3m+2)x^2+m^2=0[/tex] danner en aritmetisk rekke.

[FredrikM]

Setter vi [tex]u=x^2[/tex], skjønner vi at røttene ligger symmetrisk om y-aksen. Anta at den ene roten er a. Da er også -a en rot (pga symmetri). Avstanden mellom disse er 2a. Da må også a+2a være en rot (for at dette skal være en aritmetisk progresjon). Pga symmetri må -a-2a også være rot. Vi ser lett at -a-2a, -a, a, a+2a er en aritmetisk progresjon. Uttrykket blir da på formen

[tex](x-a)(x+a)(x-3a)(x+3a)=x^4-10a^2x^2+9a^4[/tex]

Oppdraget vært er å finne m slik at uttrykkene under er like
[tex]x^4-(3m+2)x^2+m^2=0[/tex]
[tex]x^4-10a^2x^2+9a^4=0[/tex]

Vi ser at [tex]m= 3a^2 \Rightarrow a^2=\frac{1}{3}m[/tex], hvor vi glemmer de negative løsningene (det viser seg at de ikke fører fram)

For at uttrykkene skal være like, må [tex]3m+2=10a^2=\frac{10}{3}m \Rightarrow m=6[/tex]

(som lett lar seg sjekke ved å sette [tex]u=x^2[/tex]).

[mrcreosote]

Du mister noe når du sier at m^2=9a^4 medfører m=3a^2.

[FredrikM]

Du tenker på at [tex]m= \pm 3a^2[/tex]? (i så fall har jeg nevnt dette i svaret mitt: det viser seg at disse løsningene ikke fører fram - det gadd jeg ikke utlede her)

[mrcreosote]

Hva med m=-6/19?

[FredrikM]

Du har helt rett. Litt juks i Wolframalpha avslører at også den løsningen gir en aritmetisk følge. (strengt tatt holder det å svare gi én løsning for å svare på spørsmålet i oppgaven)