Primtallsfølge

[Karl_Erik]

Finnes det en endelig følge av heltall [tex] c_1 , c_2, \ldots , c_n[/tex] slik at [tex]a+c_1, a+c_2, \ldots a+c_n[/tex] alle er primtall for flere enn ett, men ikke uendelig mange (heltallige) valg av [tex]a[/tex]?

[Karl_Erik]

Hint: Dersom det ikke finnes noen sånn følge betyr dette spesielt at følgen [tex]\{ c_1 , c_2 \} = \{ 3, 5 \} [/tex], som er primtall for for eksempel [tex]a=0[/tex], [tex]a=2[/tex], [tex]a=8[/tex], [tex]a= 16[/tex], vil måtte være primtall for uendelig mange verdier av [tex]a[/tex]. Med andre ord vil et bevis for at det ikke finnes noen sånn følge implisere at det finnes uendelig mange tvillingprimtall, som per i dag så vidt jeg vet regnes som et åpent spørsmål. Altså er det nok lurest å prøve å finne en slik følge.

[Charlatan]

Vi velger oss [tex](c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(3,5,11,17,29)[/tex]

Da er [tex]c_1+a,\ c_2+a, \ c_3+a,\ c_4+a,\ c_5+a[/tex] alle primtall for [tex]a=0[/tex] og [tex]2[/tex].

Men [tex]3,\ 5,\ 11,\ 17,\ 29 \equiv 3,\ 0,\ 1,\ 2,\ 4 (\text{mod}5)[/tex], så [tex]c_1+a,\ c_2+a,\ c_3+a,\ c_4+a,\ c_5+a[/tex] vil altså utgjøre alle forskjellige rester modulo 5. Et av tallene må altså alltid være delelig på 5. Dette er ikke mulig dersom de skal være primtall for et uendelig antall forskjellige tall a.