Lockers - Lett universitetsmatte

[Nebuchadnezzar]

Lockers in a row are numbered 1,2,3,...,1000. At first, all the lockers are closed. A person walks by and opens every other locker, starting with locker #2. Thus luckers 2,4,6,6,...,998,1000 are open. Another person walks by, and chages the "state"(i.e., closes a locker if its open, opnens a locker if its closed) of every third locker starting with locker #3. Then another person changes the fourth locker, starting with 4# etc. This process continues until no more lockers can be altered.

a) Which lockers will be closed ?

b) How many lockers will be closed ?

[espen180]

Jeg mener å ha hørt om en lignende oppgave.

Vi tar for oss de første skapene. c står for lukket, o for åpen.

1 - c (dete skapet undergår ingen endringer)
2 - o (endres 1 gang)
3 - o (endres 1 gang)
4 - c (endres 2 ganger)
5 - o (endres 1 gang)
6 - o (endres 3 ganger)
7 - o (endres 1 gang)
8 - o (endres 3 ganger)
9 - c (endres 2 ganger)

Vi ser at tall som består av et partall antall faktorer (ant. unike primtallsfaktorer + tallet selv) vil være lukket. Alle slike tall er kvadrattall. Har ikke generellt bevis for dette for hånden)

a) Altså er alle skap med kvadrattall lukket.

Det er 31 kvadrattall under 1000.

b) Altså er 31 skap lukket.

[Nebuchadnezzar]

Ser helt riktig ut dette, men det er dette beviset som er artig og finne ut av.

"Prove that an integer has an odd number of divisors if and only if its a perfect square"

[Emilga]

Jeg mener å ha hørt om en lignende oppgave.

Denne ser ut til å være ordrett fra Paul Zeits Art and Craft of Problem Solving.

"Prove that an integer has an odd number of divisors if and only if its a perfect square"

Denne finner man også i Art of Problem Solving: The Basics (en helt annen bok). Rart hvordan noen oppgaver har en tendens til å dukke opp «over alt».

[Nebuchadnezzar]

Har jo selvfølgelig den ene boken, mens den andre står på ønskeliste til jul.
Kanskje litt på kanten, men noen anbefalinger til bøker i samme sjanger ?
Altså problemløsningsbøker hvor det står ulike strategier og måter man løser oppgaver på. Ikke bare en haug med problemer.

[Charlatan]

Har jo selvfølgelig den ene boken, mens den andre står på ønskeliste til jul.
Kanskje litt på kanten, men noen anbefalinger til bøker i samme sjanger ?
Altså problemløsningsbøker hvor det står ulike strategier og måter man løser oppgaver på. Ikke bare en haug med problemer.

Du kan prøve "Problem-Solving Strategies" av Engel. Den har mange eksempler og strategier, men også mange oppgaver.

[Karl_Erik]

Vi ser at tall som består av et partall antall faktorer (ant. unike primtallsfaktorer + tallet selv) vil være lukket. Alle slike tall er kvadrattall. Har ikke generellt bevis for dette for hånden)

Formuleringen din virker noe rotete - det er dog mulig jeg ikke helt skjønner hva du mener med unike primtallsfaktorer + tallet selv - men svaret ditt er helt riktig; det er kvadrattallsskapene som forblir lukket. Du er som noen sa tidligere ferdig om du kan vise at kun kvadrattall har et odde antall divisorer. (Der både tallet selv og 1 anses som en divisor.) Å vise dette er ganske enkelt om du har en passende innfallsvinkel. Det er litt vanskelig å gi noen hint uten å spoile hele oppgaven, men en naturlig måte å vise at en mengde inneholder et partallig antall elementer på er å vise at det finnes en måte å ordne dem i par på slik at alle elementer pares med ett og bare ett annet element. Tenk litt over hvorfor dette ikke funker for kvadrattall, og beviset er i boks.

Hva bokforslag angår er det vel Art and Craft of Problem Solving og Problem-Solving Strategies som er de to største (som jeg vet om), men du kan jo også se på How to Solve it, som har veldig mange fine beskrivelser av tankerekkene som inngår i problemløsing.

[Nebuchadnezzar]

Problemet er at jeg føler at foreløbig så er disse bøkene et hakk over mitt hodet. Føler meg rett og slett som en idiot der jeg sitter og leser og forstår bare brøkdeler. Går etter sigende R1, som er altfor lett...
Så trenger utfordringer, men er vanskelig å begynne før jeg har fått inn grunnstøttene. Slik som Integrasjon, tallteori, rekker, geometri i tre dimensjoner osv. Og vi har ikke engang begynnt med beviser. Har styrt litt på egenhpnd men er fortsatt vanskelig.
Så for å sumere tror jeg at jeg trenger noen lettere bøker, før jeg begynner på disse to "Art and Craft" og "Problem-solving" Som etter sigende virker veldig gøyale, men utenfor mitt område enda.

[Charlatan]

Husk at 90 prosent av læringen skjer gjennom oppgaver. Spesielt oppgaver du ikke får til med det første. Det er ikke meningen at du skal få til alle problemene i en bok med det første, tvert imot. Noen krever timer, andre krever dager; og det er ved å gjøre disse du blir bedre.

[Emilga]

Å hamre løs på oppgaver en ikke får til (fordi en ikke innehar den rette kunnskapen) er demotiverende og virker mot sin hensikt. Hvis en ikke har andre forkunnskaper eller andre erfaringer enn fra den gode gamle «skolematematikken», stiller en veldig svakt i å løse alle oppgaver som krever et snev av oppfinnsomhet. Ikke fordi matematikken man lærer på skolen er unyttig, men fordi applikasjonen av den er «plug'n'chug»: finn ut hvilken type oppgave dette er, plugg tallene inn i formelen og sett to streker under svaret. Ingen tenking nødvendig.

Men jeg digresserer. Nebuchadnezzar, størstedelen av Art and Craft of Problem Solving vil være utenfor ditt (og mitt) område -- foreløpig. Jeg vil anbefale deg å begynne å løse abeloppgaver (runde 1 og 2) samtidig som du går til anskaffelse av Art of Problem Solving: The Basics og Art of Problem Solving: ... And Beyond. Disse (sammen med løsningsmanualene) får du fra highperception.com til den nette sum av 700 NOK. Dette er vel investerte penger ... og så er det jo snart jul. Gå også innpå artofproblemsolving.com for å se gjennom innholdsfortegnelsen og utdrag av bøkene, hvis du skulle være i tvil.

I tillegg til disse bøkene har jeg bestillt:

The USSR Olympiad Problem Book: Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics (0486277097)
Mathematical Circles: Russian Experience (0821804308)
The Contest Problem Book V: American High School Mathematics Examinations (AHSME) / American Invitational Mathematics Examinations (AIME) 1983-1988 (0883856409)
How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method (069111966X)

Du kan bla gjennom de første sidene på amazon.com, og her finner du også anbefalinger til andre bøker. Hvilke av disse siste bøkene som er relevante eller verdt pengene, vet jeg ikke, men jeg fikk øynene opp så alt for sent, så jeg har virkelig mye å ta igjen.

Kjøp også What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (0195105192), men ikke ta den så alvorlig.

[FredrikM]

Kjøp også What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (0195105192), men ikke ta den så alvorlig.

Har denne boken - og den er veldig fin. Anbefaler den veldig som koselesing. Men ikke ta den så alvorlig? Hva refererer du til?

[Emilga]

Har denne boken - og den er veldig fin. Anbefaler den veldig som koselesing. Men ikke ta den så alvorlig? Hva refererer du til?

Man skal kose seg med boken, og den hopper lett fra tema til tema. Les den med samme instilling.