Algebra

[Emilga]

For distinkte x, y og z, finn tallverdien x/y:

[tex]\Large{\frac y{x-z} = \frac {x+y}z = \frac xy}[/tex]

[Gustav]

For distinkte x, y og z, finn tallverdien x/y:

[tex]\Large{\frac y{x-z} = \frac {x+y}z = \frac xy}[/tex]

Sett w=x/y

Da får vi 2 ligninger;

yw+y=zw

y=yw^2-zw

Summering gir 0=w^2-w-2=(w+1)(w-2) så mulige løsninger er w=-1 og w=2, men w=-1 fører til at -z=0 så det går ikke.

Derfor er w=2 eneste løsning.

EDIT

[Emilga]

Virkelig?

[Gustav]

Virkelig?

Har jeg gjort noen slurvefeil? Det gjør jeg ofte, så det hadde ikke akkurat overrasket meg.

[Karl_Erik]

Uten at jeg ser noen feil i plutarcos løsning kan jeg foreslå en alternativ en:

Siden [tex]\frac y {x-z}= \frac {x+y} z = \frac x y[/tex] har vi også at [tex]\frac {y+(x+y)} {(x-z) + z} = \frac x y[/tex], dvs [tex]\frac {x+2y} {x} = \frac x y[/tex], som gjentatt gir [tex] \frac {x+2y + x} {x+y} = \frac x y[/tex], dvs [tex]\frac x y = 2[/tex].

[Gustav]

Ja, nå ser jeg at min w=-1 svarer til z=0, som ikke går

[FredrikM]

Noen: Gjelder det generelt at hvis [tex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}[/tex] så er [tex]\frac{e}{f}=\frac{a+c}{b+d}[/tex]? Prøvde å vise dette for meg selv, men sa stopp.

Edit: Klarte å vise det, og poster beviset her for andre som ikke visste dette smarte algebraiske trikset:

Bruker at [tex]ad=bc[/tex]
[tex]\frac{a+c}{b+d}=\frac{\frac{bc}{d}+c}{b+d}=\frac{bc+cd}{bd+d^2}=\frac{c}{d}\frac{b+d}{b+d}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}[/tex]

[Karl_Erik]

Ja, som du har vist gjelder det generelt at hvis to brøker er like er de også begge lik "summen" deres. Et alternativt bevis går på å definere [tex]\frac a b = \frac c d = k[/tex]. Vi har da selvfølgelig at [tex]a=kb[/tex] og [tex]c=kd[/tex], og vi får [tex]\frac {a+c} {b+d} = \frac {k(b+d)} {b+d} = k = \frac a b = \frac c d[/tex], og er ferdige.

EDIT: Selvfølgelig blir dette problematisk dersom [tex]b=-d[/tex], men ellers holder dette noe 'ulogiske' resultatet.