VGS oppgaver IV og V

[Janhaa]

IV)
Løs likningssystemet under:

[tex]x+y=sqrt2[/tex]

[tex]{1\over x}+{1\over y}=2\sqrt2[/tex]
----------------------------------

V)
Løs likninga under, for[tex]\,\,a \geq 0[/tex]

[tex]\sqrt x + a=x + \sqrt a[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Aner ikke om dette er riktig, men kan jo alltid prøve.
Kan noen vise meg den lette metoden nå ?



[tex] x + y = \sqrt 2 [/tex]

[tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\sqrt 2 [/tex]


[tex] x = \sqrt 2 - y [/tex]

[tex] \frac{1}{{\sqrt 2 - y}} + \frac{1}{y} = 2\sqrt 2 [/tex]

[tex] \frac{{\sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 2 - y} \right)y}} = 2\sqrt 2 [/tex]

[tex] \sqrt 2 = \left( {2\sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 2 - y} \right)y [/tex]

[tex] \sqrt 2 = 4y - 2\sqrt 2 {y^2} [/tex]

[tex] 2\sqrt 2 {y^2} - 4y + \sqrt 2 [/tex]


[tex] \frac{{ - \left( { - 4} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4\left( {2\sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 2 } \right)} }}{{2\left( {2\sqrt 2 } \right)}}[/tex]

[tex] \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 16} }}{{2\left( {2\sqrt 2 } \right)}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} [/tex]


[tex] x + y = \sqrt 2 [/tex]

[tex] x + \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 [/tex]

[tex] \underline{\underline {x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} [/tex]

EDIT: Endret litt slurv...

[espen180]

Gjør et forsøk på nr.2:

Antar jeg skal finne reelle løsninger.

La [tex]u^2=x[/tex]

[tex]u^2-u=a-\sqrt{a} \\ u^2-u-a+\sqrt{a} \\ u=\frac{1\pm \sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}}{2}[/tex]

Funksjonen [tex]f(a)=4(a-\sqrt{a})[/tex] har [tex]-1[/tex] som laveste verdi. Altså er [tex]\sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}[/tex] definert for alle [tex]a\geq0[/tex]

[tex]a>1\Rightarrow \sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}>1 \Rightarrow 1-\sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}<0\Rightarrow u<0\Rightarrow x\not{\in}\mathbb{R}[/tex]

Altså:
[tex]a\leq1 \Rightarrow x=\sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}}{2}} \\ a>1\Rightarrow x=\sqrt{\frac{1+ \sqrt{1+4(a-\sqrt{a})}}{2}}[/tex]

[Janhaa]

riktig dette Nebuchadnezzar

[Janhaa]

tenkte mere på dette espen, mulig dette kommer fram fra likningen dine....

[tex]0 \leq a<{1\over 4}[/tex]
[tex]\wedge[/tex]
[tex]{1\over 4}< a\leq 1[/tex]