Gjensyn med sum

[espen180]

Vekker en oppgave vi hadde her for en stund siden.

Finn summen av alle tallene mellom 1 og 100 som r delelige med 3 og/eller 5.

Hva med 3, 5 og/eller 7?

[Nebuchadnezzar]

alle tall som går opp i

20 tall går opp i tyve og 33 tall går opp i 3

[tex]\frac{100}{5}=20[/tex] og [tex]\left\lfloor {\frac{{100}}{3}} \right\rfloor = 33[/tex]

Så må vi trekke fra alle tallene som er delig på 5 og 3

[tex]\left\lfloor {\frac{{100}}{3*5}} \right\rfloor = 6[/tex]


[tex]\sum\limits_{n = 0}^{20} {5n = 1050} [/tex]

[tex]\sum\limits_{n = 0}^{33} {3n = 1683}[/tex]

[tex]\sum\limits_{n = 0}^6 {15n = 315}[/tex]

[tex]P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)[/tex]

[tex]1050+1683-315 = 2418 [/tex]

Ganske trøtt men håper dette er riktig.

----------------------------------------------------


[tex] \left\lfloor {\frac{{100}}{3}} \right\rfloor = 33 \; \left\lfloor {\frac{{100}}{5}} \right\rfloor = 20 [/tex]

[tex] \left\lfloor {\frac{{100}}{7}} \right\rfloor = 14 \; \left\lfloor {\frac{{100}}{{3 \cdot 5}}} \right\rfloor = 6 [/tex]

[tex] \left\lfloor {\frac{{100}}{{3 \cdot 7}}} \right\rfloor = 4 \; \left\lfloor {\frac{{100}}{{5 \cdot 7}}} \right\rfloor = 2[/tex]

[tex] \left\lfloor {\frac{{100}}{{5 \cdot 7 \cdot 3}}} \right\rfloor = 0 [/tex]

Regner ut summen for alle tall med og under 100 som er delig på 7. vi vet at det er 14 ledd og differansen er 7. Bruker da summen for aritmetiske rekker.

[tex] {S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} [/tex]

[tex] {S_n} = \frac{{14\left( {7 + \left( {14 - 1} \right)7} \right)}}{2} [/tex]

[tex] {S_n} = 686 [/tex]

Gjør det samme for [tex]7\cdot3[/tex]

[tex] {S_n} = \frac{{4\left( {21 + \left( {4 - 1} \right)21} \right)}}{2} [/tex]

[tex] {S_n} = 168 [/tex]

Og det samme for[tex] 5\cdot7...[/tex]

[tex] {S_n} = \frac{{2\left( {35 + \left( {2 - 1} \right)35} \right)}}{2} [/tex]

[tex] {S_n} = 70 [/tex]

Nå har vi talt for mange (telt en del tall to ganger)

[tex] P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P(A) + P\left( B \right) + P\left( C \right) - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap C} \right) - P\left( {B \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap C} \right)[/tex]

[tex] P\left( {A \cup B \cup C} \right) = 1050 + 1683 + 686 - 168 - 70 + 0 [/tex]

[tex] P\left( {A \cup B \cup C} \right) = 3183 [/tex]

------------------------------------------------------------------

Finn summen av alle tall under 1000, som ikke er delig på 7 , 6 eller 3.