Funksjonsoppgave

[Charlatan]

La [tex]f : [0,\infty) \to \mathbb{R}^+[/tex] være en kontinuerlig funksjon.

Bevis (eller motbevis) begge veier av pila:

[tex]\int^{\infty}_0 f(x) \rm{d}x<\infty \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} f(x) = 0[/tex]

Hva med:

[tex]\int^{\infty}_0 f(x) \rm{d}x<\infty \Leftrightarrow f[/tex] er begrenset

?

[FredrikM]

Blæh. Oppgaveteksten ble forandret mens jeg skrev. Har ihvertfall et moteksempel for første oppgave. [tex]f(x)=\frac 1{1+x}[/tex]. Denne går mot null når [tex]x\to \infty[/tex], men integralet divergerer.

For andre oppgave, er ihvertfall [tex]f(x)=\frac{1}{1+x}[/tex] et moteksempel mot påstanden [tex]\text{f er begrenset} \Rightarrow \int_0^\infty f(x) dx < \infty[/tex]

Nå gjenstår bare siste implikasjonspil. Litt tanke sier meg at det er det samme som å vise at [tex]\text{f begrenset} \Rightarrow \text{f^, begrenset}[/tex]. Jeg er litt for trøtt til å finne på noe bevis til denne påstanden nå, men jeg tror kanskje man kan bruke middelverdisetningen.

[Charlatan]

Stemmer det ja. Du har vist at venstre implikasjonspil ikke stemmer på hverken den øverste eller den nederste. Så er det de to høyrepilene igjen (som er de mest interessante!).

[Gustav]

Hvis [tex]\lim_{x\to\infty} f(x)=k>0[/tex] vil |[tex]f(x)-k|<\frac{k}{2}[/tex] for alle x>K (per def), så [tex]\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx>\int_{K}^{\infty}f(x)\,dx>\int_K^{\infty}\frac{k}{2}\,dx=\frac{k}{2}\int_K^\infty\,dx=\infty[/tex]

Edit: retta opp ulikhetstegnet

[Charlatan]

Men hva om grenseverdien ikke eksisterer?

[Gustav]

Men hva om grenseverdien ikke eksisterer?

Ja, det er et poeng

Hvis vi f.eks. syr sammen funksjonen [tex]g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}[/tex] med deler (som ligger over g(x)) av trekanter som er definert f.eks. med hjørner i koordinatene [tex](n,0)[/tex] , [tex](n+\frac{1}{n^2},0)[/tex] og [tex](n+\frac{1}{2n^2},1)[/tex] for alle heltall n, slik at vi får en kontinuerlig funksjon, så blir

[tex]\int_0^\infty f(x)\,dx<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^2}+\int_0^\infty\frac{1}{(x+1)^2}\,dx<\infty[/tex]

mens [tex]\lim\, \sup\, f(x)=1\neq \lim\, \inf \,f(x)=0[/tex] så [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)[/tex] eksisterer ikke.


Ideen på den nedre er i prinsippet det samme, bare at vi lager oss nye trekanter som vokser i høyden. La disse ha koordinater

[tex](n,0),(n+\frac{1}{n^3},0)[/tex] og [tex](n+\frac{1}{2n^3},n)[/tex] slik at arealene til disse blir

[tex]\frac{1}{2n^3}\cdot n=\frac{1}{2n^2}[/tex].

Syr vi sammen på analog måte som i første oppgave blir f kontinuerlig og ubegrenset mens integralet er endelig.

[Charlatan]

Jepp, det er riktig.

Oppfølger:
For den samme f, vis at
[tex]\lim_{x \to \infty } f(x)[/tex] eksisterer [tex]\Rightarrow f[/tex] er begrenset.

[Gustav]

Jepp, det er riktig.

Oppfølger:
For den samme f, vis at
[tex]\lim_{x \to \infty } f(x)[/tex] eksisterer [tex]\Rightarrow f[/tex] er begrenset.

f(x) er nedad begrenset av 0.

La [tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=k<\infty[/tex]. Da fins det en S slik at for alle x>S er f(x)<1+k, så f(x) er oppad begrenset på (S, [symbol:uendelig]).

Siden [0,S] er kompakt og vi vet at kontinuerlige bilder av kompakte mengder er kompakt (kompakt er ekvivalent med lukket og begrenset i R), så er f([0,S]) begrenset, så f(x) er begrenset på både [0,S] og (S, [symbol:uendelig])