Da var Art of Problem Solving-bøkene kommet.
Finn [tex]AB[/tex], der [tex]A,B \in \mathrm{R^+}[/tex], [tex]A \neq B \neq 1[/tex] og [tex]\log_AB = \log_BA[/tex].
Enkel logaritme
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\log_B A=\log_A B\Rightarrow\frac{\log B}{\log A}=\frac{\log A}{\log B}\Rightarrow \log^2A=\log^2B[/tex]
Siden logaritmen er en strengt voksende funksjon og [tex]A\neq B[/tex], må [tex]\log A=-\log B\Rightarrow \log A=\log\frac1B\Rightarrow A=\frac1B[/tex]
Vi prøver:
[tex]\log_A\frac1A=\frac{\log\frac1A}{\log A}=-\frac{\log A}{\log A}=-1 \\ \log_{\frac1A}A=\frac{\log A}{\log \frac1A}=-\frac{\log A}{\log A}=-1[/tex]
(Innså nettopp at denne testen var unødvendig tungvint!)
Joda, ser ut til å stemme.
Svaret er [tex]AB=\frac{A}{A}=1[/tex]
Siden logaritmen er en strengt voksende funksjon og [tex]A\neq B[/tex], må [tex]\log A=-\log B\Rightarrow \log A=\log\frac1B\Rightarrow A=\frac1B[/tex]
Vi prøver:
[tex]\log_A\frac1A=\frac{\log\frac1A}{\log A}=-\frac{\log A}{\log A}=-1 \\ \log_{\frac1A}A=\frac{\log A}{\log \frac1A}=-\frac{\log A}{\log A}=-1[/tex]
(Innså nettopp at denne testen var unødvendig tungvint!)
Joda, ser ut til å stemme.
Svaret er [tex]AB=\frac{A}{A}=1[/tex]