Enda en funksjonallikning

[Charlatan]

Finn alle kontinuerlige [tex]f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] med mer enn ett fikspunkt slik at [tex]f(f(x))=x[/tex].

[Gustav]

Anta at f er en løsning.
Hvis det er et diskret antall fikspunkt (flere enn 1) kan vi se på et intervall (a,b) mellom to fikspunkt slik at f(x)>x på hele intervallet.

Da vil det eksistere et punkt c slik at b=f(b)>f(c)>c>a

Da vil f(f(c))>c, som er en motsigelse. ergo ingen muligheter bortsett fra f(x)=x

[Charlatan]

Men hvordan vet du at et slikt intervall [tex](a,b)[/tex] eksisterer? Er ennå litt igjen.

[Gustav]

Anta at f(a)=f(b).

Siden f nødvendigvis er veldefinert, må f(f(a))=f(f(b)).

Da er a=b. Ergo er f monoton.

Hvis f er synkende er det bare ett fikspunkt.

Hvis f er voksende, anta at f(c)=d>c for en bestemt verdi c.

Da er f(f(c))>f(c) så c>d. Som er en motsigelse. (På samme vis blir det hvis vi antar f(c)<c).

Eneste mulighet er at f(x)=x


Riktig nå?

[Charlatan]

Jepp, ser bra ut.