Tallteori

[FredrikM]

For hvert heltall [tex]n > 1[/tex], finn forskjellige heltall [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] slik at

[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}[/tex]

Oppgi svaret på formen [tex]{x_n}[/tex] og [tex]{y_n}[/tex]

(akkurat fått Paul Zeitz' "Art and craft of problem solving" og synes den er litt morsom. Jeg har selv løst denne, men vet ikke helt om svaret mitt genererer alle løsningene)

[Emilga]

Litt prøving og feiling gir meg formelen:

[tex]x_n = n+1[/tex] og [tex]y_n = n(n+1)[/tex]

Vet dog ikke om den gir alle løsningene ...

[Gustav]

La [tex]|y|\geq|x|[/tex]:
Da er
[tex]x=\frac{nu}{u-1}[/tex]

[tex]y=nu[/tex] for heltallige u.

Må i tillegg ha at x er heltallig:

[tex]\frac{nu}{u-1}=\frac{nu-n}{u-1}+\frac{n}{u-1}=n+\frac{n}{u-1}[/tex]

Dersom n er et primtall vil u-1 dele n kun dersom u=2 eller u=n+1 eller u=1-n.

Ellers vil det vel finnes mange løsninger, det kommer an på hvilke primfaktorer det er i n....

EDIT: men slik jeg leser oppgaven er det ikke et poeng å uttrykke ALLE løsningene, men kun finne noen? Eller?

[Knuta]

EDIT: men slik jeg leser oppgaven er det ikke et poeng å uttrykke ALLE løsningene, men kun finne noen? Eller?

Helt klart. Jeg slet en del med problem 110

http://projecteuler.net/index.php?secti ... ems&id=108
http://projecteuler.net/index.php?secti ... ems&id=110

[Gustav]

1260=2*2*3*3*5*7 så for at u-1 skal dele 1260 kan vi ha

[tex]u-1=1,\pm 2,\pm, 3,\pm 5,\pm, 7 ,\pm 4, \pm 6,\pm 10, \pm 14[/tex] etc.

Kanskje noen gidder å verifisere at dette gir 113 løsninger?

Misliker sånne kombinatorikkoppgaver ;P

[Knuta]

Jeg har gjort en feil ved første beregning. Jeg kan bekrefte 113 løsninger.
Hvis noen ønsker det så legger jeg dem ut.