Markovkjeder

[Thor]

Lurer på følgende oppgave.
320 sykler, plasseres ut i A, B og C om morgenen, når de er levert inn om kvelden er fordelingen slik:
A -> 0,8 A - 0,1 B - 0,1 C.
B -> 0,3 A - 0,6 B - 0,1 C.
C -> 0,3 A - 0,1 B - 0,6 C.

Overgangsmatrisen blir da seendes ut slik, P:

Kode: Velg alt

0,8 0,3 0,3
0,1 0,6 0,1
0,1 0,1 0,6

Så er spørsmålet, en morgen er det slik: 180 sykler i A, 85 i B og 85 i C.
Finn ut hvordan syklene var fordelt morgenen før.

[Solar Plexsus]

La x[sub]n[/sub], y[sub]n[/sub] og z[sub]n[/sub] være hhv. antall sykler i A, B og C den n'te morgenen. Da er

(1) W[sub]n[/sub] = P[sup]n[/sup] W[sub]0[/sub]

der W[sub]n[/sub] = (x[sub]n[/sub] y[sub]n[/sub] z[sub]n[/sub])[sup]t[/sup]. Ved å multiplisere med P[sup]-1[/sup] på begge sider av likhetstegnet i (1), får vi at

P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub] = P[sup]-1[/sup] P[sup]n[/sup] W[sub]0[/sub] = P[sup]n-1[/sup] W[sub]0[/sub] = W[sub]n-1[/sub].

Så er W[sub]n[/sub] = (180 85 85), blir W[sub]n-1[/sub] = P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub]

Kode: Velg alt

  [ 1,4 -0,6 -0,6] [180]   [150]
= [-0,2  1,8 -0,2] [ 85] = [100].
  [-0,2 -0,2  1,8] [ 85]   [100]

PS. Det står det skal være 320 sykler til sammen, men det riktige tallet er vel 180 + 85 + 85 = 350.

[Thor]

Ja, det er jo 350 det skal være. Takk.
Skjønner det meste bortsett fra sammenhengen p[sup]n-1[/sup]*W[sub]0[/sub] = W[sub]n-1[/sub]. Kunne du forklart tankgangen bak det?

[Solar Plexsus]

Vi har følgende rekke av ekvivalenser:

(1) W[sub]n[/sub] = P[sup]n[/sup] W[sub]0[/sub]

P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub] = P[sup]-1[/sup](P[sup]n[/sup] W[sub]0[/sub]) (Multipliserer med P[sup]-1[/sup])

P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub] = (P[sup]-1[/sup]P[sup]n[/sup]) W[sub]0[/sub]

P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub] = P[sup]n-1[/sup] W[sub]0[/sub]

P[sup]-1[/sup] W[sub]n[/sub] = W[sub]n-1[/sub] (følger av (1)).