Integral

[Eva]

Evaluate the integral or show that it diverges:

[tex]\ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x+x^{3}} dx=\lim_{R\rightarrow \infty}\int_{1}^{R} \frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^{2}}dx=.........[/tex]

Noen som har lyst til å hjelpe meg med denne?

Mvh Eva

[Solar Plexsus]

[tex]\int_1^{\infty} \frac{1}{x \:+\: x^3} \, dx[/tex]

[tex]=\; \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \:-\: \frac{x}{1 \:+\: x} \, dx[/tex]

[tex]=\; \big[\, ln \mid x \mid \:-\: \frac{1}{2} \, ln(1 \:+\: x^2) \, \big]_1^{\infty}[/tex]

[tex]=\; \frac{1}{2} \: \big[\, 2\,ln \mid x \mid \:-\: ln(1 \:+\: x^2) \, \big]_1^{\infty}[/tex]

[tex]=\; \frac{1}{2} \: \big[\, ln x^2 \:-\: ln(1 \:+\: x^2) \, \big]_1^{\infty}[/tex]

[tex]=\; \frac{1}{2} \: \big[\, ln\big(\frac{x^2}{1 \:+\: x^2}\big) \, \big]_1^{\infty}[/tex]

[tex]=\; \frac{1}{2} \: \big[\, ln\big(\frac{1}{1 \:+\: x^{-2}}\big) \, \big]_1^{\infty}[/tex]

[tex]=\; \frac{1}{2}\big( \, ln1 \:-\: ln\frac{1}{2} \, \big)[/tex]

[tex]= \; \frac{1}{2}\big( \, 0 \:-\: (ln1 \:-\: ln2) \, \big)[/tex]

[tex]= \; \frac{ln2}{2}\,.[/tex]

[Gjest]

Det siste integralet [tex]\int \frac{1}{x+x^3} = \int \frac1x-\frac{x}{1+x^2} dx[/tex] kan vi klare å finne et ubestemt integral til:

[tex]\frac1x[/tex] integrerer til [tex]\log x[/tex], i det andre leddet kan du bruke som kjerne [tex]1+x^2[/tex] og få det integrert til [tex]\frac12\log(1+x^2)[/tex].
Så trekker vi dem fra hverandre:

[tex]\log x - \frac12\log(1+x^2)[/tex] og ser hva som skjer når [tex]x\to\infty[/tex].

Først ordner vi litt på det:

[tex]\log x - \frac12\log(1+x^2) = \frac12\log(x^2)-\frac12\log(1+x^2) = \frac12\log(\frac{x^2}{1+x^2}) \to 0[/tex]

Så [tex]\lim_{R\to\infty} \int_1^R \frac1{x+x^3} = 0 - (\log 1 - \frac12\log(1+1^2)) = \frac12\log 2[/tex]

[Eva]

Tusen takk for hjelpa!

Hilsen Eva