Integral

[Gjest]

[symbol:integral][sub]C[/sub] 2x*lnz dx + 2y[sup]2[/sup]*z dy + y[sup]3[/sup] dz, når C er the stright line from (1,1,1) to (2,1,2)?

[Solar Plexsus]

Den rette linjen fra (1,1,1) til (2,1,2) er parallell med vektoren

<2,1,2> - <1,1,1> = <1,0,1>.

Så likningen for den rette linja mellom disse to punktene er gitt ved

x = 1 + t, y = 1, z = 1 + t

der t gjennomløper intervallet [0,1]. Dette gir dx/dt = dz/dt = 1 og dy/dt = 0. Herav følger at

[tex]\int_C 2x \, lnz \, dx \;+\; 2y^2z \, dy \;+\; y^3 \, dz [/tex]

[tex]=\; \int_0^1 2(1 \:+\: t) \, ln(1 \:+\: t) \, dt \;+\; \int_0^1 2 \cdot 1^2 \, (1 \:+\: t) \, 0 \, dt \;+\; \int_0^1 1^3 \, dt [/tex]

[tex]=\; \big[t\big]_0^1 \;+\; 2\int_1^2 w\,lnw \, dw \;\;[/tex] (Anvender substitusjonen w = 1 + t)

[tex]=\; 1 \;+\; \big[ x^2(lnx \:-\: \frac{1}{2}) \big]_1^2 \;\;[/tex] (Delvis integrasjon: [symbol:integral]u'v = uv - [symbol:integral]uv' med u'= x og v = lnx)

[tex]=\; 1 \:+\: 2^2(ln2 \:-\: \frac{1}{2}) \:-\: 1^2(ln1 \:-\: \frac{1}{2}) [/tex]

[tex]=\; 1 \:+\: 4ln2 \:-\: 2 \:+\: \frac{1}{2}[/tex]

[tex]=\; 4ln2 \:-\: \frac{1}{2}\,.[/tex]

[Gjest]

Tusen takk, hadde aldri trodd at denne oppgaven skulle være så omfattende. Ha en fortsatt fin kveld!