Det komplekse planet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Bunnkvarken
- Pytagoras
- Innlegg: 6
- Registrert: 18/08-2024 17:25
Hvordan går man frem for å skissere det følgende området i det komplekse planet: {z: |z-2|<|z-i+2|} ?
Det komplekse tallet z = x + iy gir at z-2 = x + iy -2 = x-2 + iy og
det komplekse tallet z = 2 - i gir x +iy +2 - i = x + 2 + i(y-1)
Modulusen (lengden) til disse komplekse tallene er |x - 2 +iy| og |x + 2 +(i(y-1)|, altså √((x-2)^2 + y^2) og √((x+2)^2 + (y-1)^2)
Siden |z-2| < |z + 2 -i|, må vi ha ulikheten
√((x-2)^2 + y^2) < √((x+2)^2 + (y-1)^2). Ved å kvadrere og forkorte får vi
-4x < 4x -2y +1
y < 4x +1/2
Punktene som søkes må altså ligge under linjen y = 4x + 1/2
Dette kan også sees ved et geometrisk resonnement.
Betraktet som vektor er z-2 vektoren som starter i 2 ( på x-aksen) og ender i z, og |z-2| er lengden av denne vektoren.
z + 2 - i = z - (-2 + i ) er vektoren som starter i punktet (-2,1) og ender i z. Mengden av alle punkter i planet som ligger like langt fra punktene (-2,1) og (2,0), må være midtnomalen til linjestykket som forbinder punktene (-2,1) og (2, 0). Denne midtnormalen må gå gjennom midtpunktet på linjestykket, punktet (0, 1/2), og må ha stigningstall 4 siden den står normalt på linjen som har stigningstall -1/4. Likningen for en slik linje er y = 4x + 1/2. Følgelig må alle punkter i planet som ligger nærmere (2,0) enn (-2,1) ligge under denne linjen y = 4x + 1/2.
det komplekse tallet z = 2 - i gir x +iy +2 - i = x + 2 + i(y-1)
Modulusen (lengden) til disse komplekse tallene er |x - 2 +iy| og |x + 2 +(i(y-1)|, altså √((x-2)^2 + y^2) og √((x+2)^2 + (y-1)^2)
Siden |z-2| < |z + 2 -i|, må vi ha ulikheten
√((x-2)^2 + y^2) < √((x+2)^2 + (y-1)^2). Ved å kvadrere og forkorte får vi
-4x < 4x -2y +1
y < 4x +1/2
Punktene som søkes må altså ligge under linjen y = 4x + 1/2
Dette kan også sees ved et geometrisk resonnement.
Betraktet som vektor er z-2 vektoren som starter i 2 ( på x-aksen) og ender i z, og |z-2| er lengden av denne vektoren.
z + 2 - i = z - (-2 + i ) er vektoren som starter i punktet (-2,1) og ender i z. Mengden av alle punkter i planet som ligger like langt fra punktene (-2,1) og (2,0), må være midtnomalen til linjestykket som forbinder punktene (-2,1) og (2, 0). Denne midtnormalen må gå gjennom midtpunktet på linjestykket, punktet (0, 1/2), og må ha stigningstall 4 siden den står normalt på linjen som har stigningstall -1/4. Likningen for en slik linje er y = 4x + 1/2. Følgelig må alle punkter i planet som ligger nærmere (2,0) enn (-2,1) ligge under denne linjen y = 4x + 1/2.