Dette kan vises ved å se på to polynom $f,g\in\Bbb Z[x]$ uten felles faktor. Da vil $(f,g)=(1)\in\Bbb Q[x]$. Vi kan så gange med et helttall $n$ slik at $(nf,ng)=(n)\subseteq P\subseteq\Bbb Z[x]$, og derfor må $P$ inneholde en primtall $p\mid n$.La $P\subseteq\Bbb Z[x]$ være et primideal. Vis at hvis $P$ ikke kan genereres av ett element må det inneholde et primtall $p\in\Bbb Z$
Jeg lurer på om man kan bruke ringen $\Bbb Z_p[x]$ til å bevise det samme resultatet. Dette er hva jeg har fått til hittil:
La $f,g$ være to irredusible polynom uten felles faktor. Siden $\Bbb Z_p[x]$ er et PID har vi $(\bar f,\bar g)=(\bar h)$, vi har da at $(f,g)\subseteq (p,\bar h)$. Det siste idealet er ikke nødvendigvis et primideal, siden $\bar h$ ikke nødvendigvis er irredusibelt over $\Bbb Z[x]$, men jeg kan anta dette da jeg kan bytte ut $\bar h$ med en irredusibel faktor av $\bar h$. Jeg kan derfor si at $P\subseteq (\bar h,p)$, men dette kommer jeg ikke noen vei med. Jeg har prøvd å skrive: $$f=a\bar h+kp$$ $$g=b\bar h+lp$$
$$(al-bk)\begin{pmatrix}
\bar h\\
p
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
l & -k\\
-b & a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
f\\
g
\end{pmatrix}$$ Jeg får at $(al-bk)\bar h, (al-bk)p \in P$, men kommer heller ingen vei ved å anta at $al-bk\in P$. Jeg tar gjerne mot hint!