matematikk.net

Hei

Sliter med følgende oppgave:

Vi tenker oss et jordlag som ved tiden t (timer) har et visst vanninnhold v=v(t). V måles i mm. Vi antar at vannet beveger seg ned gjennom jorden og forlater jordlaget med en avrenningshastighet (målt i mm per time) som er proporsjonal med vanninnholdet i jordlaget. Videre antar vi at jordlaget tilføres regn med konstant intensitet p=2 (mm per time). På grunnlag av dette kan vi stille opp følgende differensiallikningsmodell:

dv/dt = p-kv

der k=0,2 (per time). Anta at vanninnholdet i jordlaget ved tiden t=0 er 1,8 mm.


a) Finn jordlagets vanninnhold ved tiden t=3 (timer).
b) Vanninnholdet vil i det lange løp stabilisere seg på en viss verdi. Finn denne verdien.

Gitt

( * ) [tex]\frac{dv}{dt}[/tex] = p - k v

Hint: Separabel difflikning

Likninga ( * ) er ekvivalent med

[tex]\frac{dv}{k v - p}[/tex] = - dt

Integrerer opp V.S. og H.S. kvar for seg , og får

[tex]\frac{1}{k}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ln[tex]\left | k v - p \right |[/tex] = -t + C[tex]_{1}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] ( [tex]\cdot[/tex] k )

ln( kv - p ) = - k t + C[tex]_{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] k v - p = C[tex]_{3}[/tex] [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{- kt}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex]

v = [tex]\frac{p}{k}[/tex] + C[tex]_{4}[/tex] [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{-kt}[/tex] ( sett inn num. verdiar for k og p ) = 10 + C[tex]_{4}[/tex][tex]\cdot[/tex] e[tex]^{- 0.2t}[/tex]

Sett inn v ( 0 ) = 1.8 for å finne konstanten C[tex]_{4}[/tex]. Da endar vi opp med

v( t ) = 10 - 8.2 [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{-0.2 t}[/tex]

PS Problemet ovanfor kan vi også løyse ved å bruke LøsODE - verktøyet i CAS.

Vet ikke heeeelt om jeg skjønte hvordan du gjorde dette
Vedlagt ligger notater fra hint som læreren kom med. Kan noen av de brukes for å løse oppgaven?

I dette tilfelle kan vi ......

1) ...... løyse problemet som ei separabel difflikning

eller

2) ..... multiplisere med integrerande faktor ( e[tex]^{k t}[/tex] = e[tex]^{0.2 t }[/tex] )


Du har valt den siste metoden , og det er sjølvsagt heilt greitt. Da får vi likninga

v'( t ) [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{0.2 t}[/tex] + 0.2 [tex]\cdot[/tex]v( t ) [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{0.2 t}[/tex] ( produktregel baklengs: u' v + u v ' = (u[tex]\cdot[/tex]v) ' ) = ( e[tex]^{0.2 t}[/tex] [tex]\cdot[/tex]v( t ))' = p [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{0.2 t}[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] ( integrer opp begge sider )

[tex]\int[/tex]( e[tex]^{0.2 t}[/tex] [tex]\cdot[/tex]v( t ))' dt = [tex]\int[/tex] (p [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{0.2 t}[/tex] ) dt = [tex]\frac{p}{0.2}[/tex] e[tex]^{0.2 t}[/tex] + C ( p = 2 )

Ser du no vegen vidare ? Hint: [tex]\int[/tex] ( f( t ) )' dt = f( t ) ( jamfør integralet på V. S. )