Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Vi tenker oss et jordlag som ved tiden t (timer) har et visst vanninnhold v=v(t). V måles i mm. Vi antar at vannet beveger seg ned gjennom jorden og forlater jordlaget med en avrenningshastighet (målt i mm per time) som er proporsjonal med vanninnholdet i jordlaget. Videre antar vi at jordlaget tilføres regn med konstant intensitet p=2 (mm per time). På grunnlag av dette kan vi stille opp følgende differensiallikningsmodell:
dv/dt = p-kv
der k=0,2 (per time). Anta at vanninnholdet i jordlaget ved tiden t=0 er 1,8 mm.
a) Finn jordlagets vanninnhold ved tiden t=3 (timer).
b) Vanninnholdet vil i det lange løp stabilisere seg på en viss verdi. Finn denne verdien.
[tex]\frac{1}{k}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ln[tex]\left | k v - p \right |[/tex] = -t + C[tex]_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] ( [tex]\cdot[/tex] k )
ln( kv - p ) = - k t + C[tex]_{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] k v - p = C[tex]_{3}[/tex] [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{- kt}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]
v = [tex]\frac{p}{k}[/tex] + C[tex]_{4}[/tex] [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{-kt}[/tex] ( sett inn num. verdiar for k og p ) = 10 + C[tex]_{4}[/tex][tex]\cdot[/tex] e[tex]^{- 0.2t}[/tex]
Sett inn v ( 0 ) = 1.8 for å finne konstanten C[tex]_{4}[/tex]. Da endar vi opp med
v( t ) = 10 - 8.2 [tex]\cdot[/tex] e[tex]^{-0.2 t}[/tex]
PS Problemet ovanfor kan vi også løyse ved å bruke LøsODE - verktøyet i CAS.
Vet ikke heeeelt om jeg skjønte hvordan du gjorde dette
Vedlagt ligger notater fra hint som læreren kom med. Kan noen av de brukes for å løse oppgaven?
