matematikk.net

No som sprengkulda held heile landet i eit jerngrep, kan det vere freistande å flykte over i kognitive aktivitetar innandørs.
På "nettet" kom eg over dette integrasjonsproblemet som fanga interessa og gjer opphaldet innadørs til meiningsfylt laurdagskos.

Til deg som deler min smak: God fornøyelse !

Rekn ut [tex]\int \int[/tex][tex]_{D}[/tex] ( e[tex]^{x^{2} + 2y^{2}}[/tex] dA ) , der D = { ( x, y ) / ( x[tex]^{2}[/tex] + 2 y[tex]^{2}[/tex] [tex]\leq[/tex] 1 }

Artig oppgave dette.
Hvis man skal ha håp om et eksakt svar, er det nok ikke så mange andre muligheter enn å foreta et variabelskifte (noe "Mattebruker" sikkert fant ut i februar).
La [tex]u=x[/tex] og [tex]v=\sqrt{2}\;y[/tex]. Da får vi
[tex]\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\sqrt{2}[/tex], slik at [tex]\int\int_D \exp(x^2+2y^2)dxdy=\int\int_U\frac{1}{\sqrt{2}}e^{u^2+v^2}dudv[/tex],
der [tex]U[/tex] er enhetssirkelen med sentrum i origo. Ved å gå over til polare koordinater, får vi derfor at det gitte integralet kan skrives:
[tex]\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}}\;e^{r^2}r\;dr\;d\theta=\frac{\pi}{\sqrt{2}}(e-1)[/tex].

fish skrev: ↑08/05-2024 13:31 Artig oppgave dette.
Hvis man skal ha håp om et eksakt svar, er det nok ikke så mange andre muligheter enn å foreta et variabelskifte (noe "Mattebruker" sikkert fant ut i februar). .

Her er fish og Mattebruker samtenkte. Men sistnemnde har valt ei litt anna tilnærming til problemet enn fish.
Mattebrukar tek utgangspunkt i randkurva til D - området som er ei ellipse:

( * ) [tex]\left ( \frac{x}{1} \right )^{2}[/tex] + [tex]\left ( \frac{y}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right )^{2}[/tex] = 1

Likninga ( * ) framstiller ein ellipse med halvaksar a = 1 ( langs x - aksen ) og b = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] ( langs y - aksen ).

For å " nå " eit vilkårleg punkt på eller innafor ellipsen innfører vi plane polarkoordinatar ( [tex]\rho[/tex] og [tex]\varphi[/tex] ) , også kalla ellipsekoordinatar :

x = a [tex]\cdot[/tex][tex]\rho[/tex] [tex]\cdot[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] =1[tex]\cdot[/tex] [tex]\rho[/tex] [tex]\cdot[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\rho[/tex] [tex]\leq[/tex] 1 [tex]\wedge[/tex] 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\varphi[/tex] [tex]\leq[/tex] 2[tex]\pi[/tex]

y = b [tex]\cdot[/tex] [tex]\rho[/tex] [tex]\cdot[/tex] sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] [tex]\cdot[/tex] [tex]\rho[/tex] [tex]\cdot[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]

Det infinitesimale flateelementet dxdy ( innafor D ) kan vi omforme slik: [tex]\frac{dxdy}{d\rho d\varphi }[/tex][tex]\cdot[/tex] d[tex]\rho[/tex]d[tex]\varphi[/tex]
For å kome over i [tex]\rho[/tex] - [tex]\varphi[/tex] - planet må vi rekne ut "omrekningsfaktoren" [tex]\frac{dxdy}{d\rho d\varphi }[/tex] som er gitt ved den såkalla Jakobi - determinanten ( i dette tilfelle 2 x 2 - determinant ) ( 1. rekke: [tex]\frac{dx}{d\rho }[/tex] , [tex]\frac{dx}{d\varphi }[/tex]
2. rekke: [tex]\frac{dy}{d\rho }[/tex] , [tex]\frac{dy}{d\varphi }[/tex] ) Determinanten som fører oss frå x - y - planet over i [tex]\rho[/tex] - [tex]\varphi[/tex] - planet = [tex]\frac{\rho }{\sqrt{2}}[/tex]. Substitusjonane ovenfor gir da:

[tex]\int \int[/tex][tex]_{D}[/tex] e[tex]^{x^{2} + 2 y^{2}}[/tex] dxdy = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] [tex]\int_{0}^{1}[/tex] e[tex]^{\rho ^{2}}[/tex] [tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{\rho }{\sqrt{2}}[/tex] d[tex]\rho[/tex] d[tex]\varphi[/tex]

PS Kanskje eit vel omstendeleg løysingforslag . Samtidig er eg komfortabel med denne presentasjonen da den gir meg nærheit til begrepet integrasjon som i realiteteten går ut på å summere ei rekke over uendeleg mange infinitesimale( uendeleg små ) element. Du som les dette innlegget må gjerne kome med synspunkt , kritiske eller samanfallande med mine ytringar.