No som sprengkulda held heile landet i eit jerngrep, kan det vere freistande å flykte over i kognitive aktivitetar innandørs.
På "nettet" kom eg over dette integrasjonsproblemet som fanga interessa og gjer opphaldet innadørs til meiningsfylt laurdagskos.
Til deg som deler min smak: God fornøyelse !
Rekn ut [tex]\int \int[/tex][tex]_{D}[/tex] ( e[tex]^{x^{2} + 2y^{2}}[/tex] dA ) , der D = { ( x, y ) / ( x[tex]^{2}[/tex] + 2 y[tex]^{2}[/tex] [tex]\leq[/tex] 1 }
Laurdagskos
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Artig oppgave dette.
Hvis man skal ha håp om et eksakt svar, er det nok ikke så mange andre muligheter enn å foreta et variabelskifte (noe "Mattebruker" sikkert fant ut i februar).
La [tex]u=x[/tex] og [tex]v=\sqrt{2}\;y[/tex]. Da får vi
[tex]\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\sqrt{2}[/tex], slik at [tex]\int\int_D \exp(x^2+2y^2)dxdy=\int\int_U\frac{1}{\sqrt{2}}e^{u^2+v^2}dudv[/tex],
der [tex]U[/tex] er enhetssirkelen med sentrum i origo. Ved å gå over til polare koordinater, får vi derfor at det gitte integralet kan skrives:
[tex]\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}}\;e^{r^2}r\;dr\;d\theta=\frac{\pi}{\sqrt{2}}(e-1)[/tex].
Hvis man skal ha håp om et eksakt svar, er det nok ikke så mange andre muligheter enn å foreta et variabelskifte (noe "Mattebruker" sikkert fant ut i februar).
La [tex]u=x[/tex] og [tex]v=\sqrt{2}\;y[/tex]. Da får vi
[tex]\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\sqrt{2}[/tex], slik at [tex]\int\int_D \exp(x^2+2y^2)dxdy=\int\int_U\frac{1}{\sqrt{2}}e^{u^2+v^2}dudv[/tex],
der [tex]U[/tex] er enhetssirkelen med sentrum i origo. Ved å gå over til polare koordinater, får vi derfor at det gitte integralet kan skrives:
[tex]\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}}\;e^{r^2}r\;dr\;d\theta=\frac{\pi}{\sqrt{2}}(e-1)[/tex].