Største intervallet I, som inneholder 0, slik at f har en invers funksjon.

[EliasHel]

Som emne-et sier lurer jeg på hvordan jeg kan finne det største intervallet I som inneholder 0, slik at funksjonen f(x) = 2e^(-2x) - e^(-x)+1 har en invers funksjon.
Tenkte først å ta f(x) = 0 for å finne ut hva x er da y = 0, og fikk at x = ln(2), men usikker hva jeg skal gjøre med det, og hvordan jeg skal gå videre.

[Mattebruker]

Funksjonen f er kontinuerleg og deriverbar for alle x [tex]\in[/tex] R ( alle reelle tal ).

Tips: Funksjonen f har ein invers funksjon f[tex]^{-1}[/tex] i intervallet I dersom f er monotont veksande eller monotont minkande i heile I.

[Lemunde]

For at en funksjon skal ha en invers, må funksjonen være strengt voksende eller strengt avtagende på intervallet der den inversen er definert.

For å avgjøre dette, kan vi se på den deriverte av f(x)f(x). Dersom f′(x)>0f′(x)>0 på intervallet, vil funksjonen være strengt voksende. Hvis f′(x)<0f′(x)<0 på intervallet, vil funksjonen være strengt avtagende.

Først, finn den deriverte:

f(x)=2e−2x−e−x+1f(x)=2e−2x−e−x+1

f′(x)=−4e−2x+e−xf′(x)=−4e−2x+e−x

Nå, sett f′(x)=0f′(x)=0 for å finne eventuelle vendepunkter:

−4e−2x+e−x=0−4e−2x+e−x=0

For å løse denne ligningen kan du multiplisere med e2xe2x:

−4+ex=0−4+ex=0

Deretter får du:

ex=4ex=4

Som gir:

x=ln(4)x=ln(4)

Dette betyr at funksjonen endrer stigningstall ved x=ln(4)x=ln(4). Men siden du ønsker å finne det største intervallet som inneholder 0, trenger du å bestemme tegnet av f′(x)f′(x) for x-verdier på begge sider av ln(4)ln(4).

For x<ln(4)x<ln(4), f′(x)>0f′(x)>0, så funksjonen er økende.

For x>ln(4)x>ln(4), f′(x)<0f′(x)<0, så funksjonen er avtagende.

Dermed, for å sørge for at funksjonen enten er strengt voksende eller avtagende over hele intervallet som inneholder 0, bør du velge intervallet fra −∞−∞ til ln(4)ln(4). Dette vil være det største intervallet der f(x)f(x) har en invers funksjon.

[codykuphal]

For at en funksjon skal ha en invers, må funksjonen være strengt voksende eller strengt avtagende på intervallet der den inversen er definert.

For å avgjøre dette, kan vi se på den deriverte av f(x)f(x). Dersom f′(x)>0f′(x)>0 på intervallet, vil funksjonen være strengt voksende. Hvis f′(x)<0f′(x)<0 på intervallet, vil funksjonen være strengt avtagende.

Først, finn den deriverte:

f(x)=2e−2x−e−x+1f(x)=2e−2x−e−x+1

f′(x)=−4e−2x+e−xf′(x)=−4e−2x+e−x

Nå, sett f′(x)=0f′(x)=0 for å finne eventuelle vendepunkter:

−4e−2x+e−x=0−4e−2x+e−x=0

For å løse denne ligningen kan du multiplisere med e2xe2x:

−4+ex=0−4+ex=0

Deretter får du:

ex=4ex=4

Som gir:

x=ln(4)x=ln(4)

Dette betyr at funksjonen endrer stigningstall ved x=ln(4)x=ln(4). Men siden du ønsker å finne det største intervallet som inneholder 0, trenger du å bestemme tegnet av f′(x)f′(x) for x-verdier på begge sider av ln(4)ln(4).

For x<ln(4)x<ln(4), f′(x)>0f′(x)>0, så funksjonen er økende.

For x>ln(4)x>ln(4), f′(x)<0f′(x)<0, så funksjonen er avtagende.

Dermed, for å sørge for at funksjonen enten er strengt voksende eller avtagende over hele intervallet som inneholder 0, bør du velge intervallet fra −∞−∞ til ln(4)ln(4). Dette vil være det største intervallet der f(x)f(x) har en invers funksjon.

The detailed solution to the problem, I understood where the problem I was having, thank you.