matematikk.net

Du har tatt opp et lån på 2 000 000 for å kjøpe et hus på Påskeøya. Lånet er et annuitetslån på 20 år med faste årlige tilbakebetalinger, og første tilbakebetaling skjer ett år etter låneopptak. Renten er 4% per år.
A) hva er det årlige terminbeløpe?
b) Hvor mye av den første tilbakebetalingen er renter, og hvor mye er avdrag?
c) Rett etter den tiende tilbakebetalingen får du tilbud om å selge rettighetene du har til noen geniale derivasjonsvideoer. Du setter som vilkår for å selge at kjøperen innfrir restlånet ditt. Hvor stort er restlånet rett etter den tiende tilbakebetalingen?

a) Nåverdien av det $i$-te terminbeløpet $T$ vil være $\frac{T}{1.04^{i}}$. Summen av disse $ 20$ nåverdiene må være lik lånebeløpet $2\,000\,000$. Summen danner en geometrisk rekke med kvotient $k = \frac{1}{1.04}$ og hvor det første av $20$ ledd $= \frac{T}{1.04}$.

b) Terminbeløp = Avdrag + Renter. Renter etter $1$ år $ = 2\,000\,000 * 0.04$. Avdrag etter $1$ år $\,=\,T - 2\,000\,000 * 0.04$.

c) Uten noen tilbakebetaling etter $10$ år vil lånebeløpet ha vokst til $2\,000\,000 * 1.04^{10}$. Men det har skjedd $10$ årlige tilbakebetalinger som skal forrrentes:$\, T + T * 1.04 + T * 1.04^2 + \cdot\,\cdot\,+ T * 1.04^{9}$ Det som står på kontoen rett etter den siste innbetalingen er derfor
$2\,000\,000 * 1.04^{10} - (T + T * 1.04 + T * 1.04^2 + \cdot\,\cdot\,+ T * 1.04^{9})$ .

Går ut frå at innsendar har høve til å bruke Geogebra ( CAS ) for å løyse denne oppgåva . Dette hjelpemiddlet vil forenkle reknearbeidet i betydeleg grad.

Vedk. punkt a: Bruke CAS - kommandoen Sum( uttrykk, variabel , startverdi , sluttverdi ).

Løysing: La terminbeløpet vere x kr . Reduserer så alle terminbeløp til kontant betaling ( noverdi ). Da må den ukjende( x ) tilfredstille likninga

x[tex]\cdot[/tex] Sum( [tex]\frac{1}{1.04^{i}}[/tex] , i , 1 , 20 ) = 2000000 ( trykke på Return - knappen etter innlesing )

Deretter: Trykke på X[tex]\simeq[/tex] - tasten på verktøylinja. Da vil løysinga ( x = 147163.5 ) straks dukke opp på neste linje i CAS-feltet.

Vedk. punkt c:
Finne restlånet rett etter 10. innbetaling. Første innbetaling har no stått og forrenta seg i 9 år , medan siste innbetaling er "nyfødd" , d.v.s. null( 0 ) år.
I same tidsromet( dei første 10 åra ) har lånebeløpet( L ) vakse til L[tex]\cdot[/tex]1.04[tex]^{10}[/tex].

Restlånet RL = L[tex]\cdot[/tex]1.04[tex]^{10}[/tex] - Sum( 147163.5[tex]\cdot[/tex]1.04[tex]^{i}[/tex], i , 0 , 9 ) = 1193627.8