skrå asymptote

[åse11]

Går forkurs og fikk oppgaven under. Forstår vi skal polynomfaktorisere nevneren med telleren, men får det ikke til å stemme. Lurer på om noen kunne hjulpet. Har kommet frem til første del av polynomfaktoriseringen:
(2x^2-3x+3): (6x+1) = (1/3)x...

f(x)= (2x^2-3x+3)/(6x+1)

Takk for hjelp!

[jos]

Er den opprinnelige oppgaven å finne en eventuell skrå asymptote til $\frac{2x^2 - 3x + 3}{6x + 1}\,$?

[åse11]

Det stemmer:)

[SveinR]

Det første leddet av divisjonen blir som du nevner $\frac{1}{3}x$.

For det neste steget i algoritmen multipliserer vi dette med nevneren $(6x+1)$, og resultatet av dette trekker vi fra det opprinnelige uttrykket. Multiplikasjonen gir $2x^2+\frac{1}{3}x$. Trekker vi dette fra $2x^2-3x+3$ ender vi opp med

$2x^2-3x+3 - \bigl(2x^2+\frac{1}{3}x\bigr)=-3x+3-\frac{1}{3}x = -\frac{9}{3}x + 3 - \frac{1}{3}x = -\frac{10}{3}x + 3$

Så må vi da gjenta stegene til neste "runde". Da bør du få at neste ledd blir $-\frac{5}{9}$.

[jos]

Det stemmer altså at den opprinnelige oppgaven er å finne den eventuelle skrå asymptoten til

$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 3}{6x + 1}$. Men man finner ikke skrå asymptoter ved polynomdivisjon.

$f(x)$ har en asymptote $ax + b$ bare hvis $\frac{f(x)}{x}$ går mot en grense $a$ når $x$ går mot uendelig, og $f(x) - ax$ går mot en grense $b$ når $x$ går mot uendelig.

Så del den rasjonelle funksjonen $\frac{2x^2 - 3x + 3}{6x + 1}$ på $x$ og sjekk om resultatet går mot en grense $a$ når $x$ øker. Hvis det er tilfelle, sjekk om $\frac{2x^2 - 3x + 3}{6x + 1} - ax$
går mote en grense $b$ når x øker. Hvis det siste stemmer, blir asymptoten $ax + b$.

[Mattebruker]

f( x ) = [tex]\frac{2x^{2} - 3x +3}{6x +1 }[/tex], D[tex]_{f}[/tex] = R\ { -[tex]\frac{1}{6}[/tex] }

Polynomdivisjon gir

f( x ) = [tex]\frac{2x^{2} - 3x +3}{6x +1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex] x - [tex]\frac{5}{9}[/tex] + [tex]\frac{32}{9(6x + 1)}[/tex] ( restbrøk )

Skrå asymptote:
[tex]\left | x\right |[/tex] [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] restbrøk [tex]\rightarrow[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] f( x ) [tex]\rightarrow[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex] x - [tex]\frac{5}{9}[/tex]

Svar: Grafen til f nærmar seg den rette linja l: y = [tex]\frac{1}{3}[/tex] x - [tex]\frac{5}{9}[/tex] når [tex]\left | x \right |[/tex] [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ( x [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\pm[/tex] [tex]\infty[/tex] )

[jos]

Takk for påpekning og korrigering, mattebruker! Min påstand: "Men man finner ikke skrå asymptoter ved polynomdivisjon" er ikke riktig når funksjonen det gjelder, er rasjonal, dvs en brøk hvor både teller og nevner er polynomer. Prosedyren for polynomdivisjon gir nettopp koeffisienten $a$ i første leddet i kvotienten og konstantleddet $b$ som annet ledd hvor $b$ fremkommer som $f(x) - ax$ når $x$ går mot uendelig.

[Mattebruker]

Da er vi einige . Ha ein fin sundag !