Integrere ligninger

[ma58ziq]

Hva er grunnen til at man ikke trenger å integrere over samme variabel når man integrerer på begge sider av en ligning?
F.eks. hvis en har ligningen

dy/y = dx/(x-a)

Hvorfor blir ikke det da

ln(y) = dx/(x-a) *y

[jos]

Hvis vi omforner uttrykket litt, får vi

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x-a} => \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}y´= \frac{1}{x-a} $

I den siste likningen er både venstre - og høyresiden funksjoner av x. Ved å integrere hver av sidene med x som integrasjonsvariabel, fås

$\int{\frac{1}{y}y´dx} = \int{\frac{1}{x - a}dx}$

Vi skifter integrasjonsvariabel på venstresiden hvor

$y´dx = dy$

og får

$\int{\frac{1}{y}dy} = \int{\frac{1}{x - a}dx}$

som gir

$ln |y |+ C_1= ln |x - a| + C_2,$
$C_3 = -C_1 + C_2 => ln|y| = ln|x -a| + C_3, e^{C_3} = C$

$y = C(x - a)$

Sett inn løsningen i den opprinnelige likningen og se at det stemmer