matematikk.net

oppg - "Finn en ligning for tangentplanet i punktet (a, b, c) på ellipsoiden
x2 + 2y2 + z2 = 1. Finn deretter punktene hvor tangentplanet er parallelt med
planet x + y + z = 0."
har funnet tangenplanet - 2a(x-a) + 4b(y-b) + 2c(z-c) = 1, men hvordan finner jeg punktene der hvor tangentplanet er parallelt med planet?

Ellipsoiden $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ er en nivåflate til funksjonen $F(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + z^2$. Gradienten $\triangledown F(x,y,z) = [2x,4y,2z] $ står normalt på denne nivåflaten og vil derfor være parallell med normalen til tangentplanet til nivåflaten $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$. Dermed fås likningen for tangenten til ellipsoiden i punktet $(a,b,c)$ ved skalarproduktet $[2a,4b,2c] \cdot\,[x -a, y - b, z -c] = 0 => ax + 2by +cz - a^2 -2b^2 -c^2 = 0$

Tangentplanet er parallelt med planet $x + y + z = 0$ hvis deres respektive normaler er parallelle. Vi må altså ha $[2x,4y,2z] = k[1,1,1] => x = \frac{k}{2}, y = \frac{k}{4}, z = \frac{k}{2}$ Vi setter inn uttrykkene for $x,y$ og $z$ i likningen for ellipsoiden og får $k = +/-\sqrt{\frac{8}{5}}$. Dette gir punktene hvor tangentplanet er parallelt med planet $ x + y + z = 0$.

takk