matematikk.net

A=[tex]\begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{bmatrix}[/tex]
Når [tex]\lambda[/tex]=0, hvordan blir en egenvektor av matrisen A lik [tex]\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

[tex]\vec{X}[/tex]=[tex]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}[/tex]=[tex]\begin{bmatrix} -x^2\\ x^2\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]=[tex]x_{2}[/tex][tex]\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]
Hva er feil her?

Så vidt jeg kan se: ingen ting, bort sett fra at du skriver $x^2$ i stedet for $x_2$. Egenvektoren tilhørende egenverdien $\lambda = 0 = s[1,-1,0]$. Ved å velge $s = 1: \vec x = [1, -1, 0$].
Ved å velge $s = -1:\, \vec x = [-1, 1,0]$.

Takk for svar!
Betyr det at jeg kan bruke enten egenvektoren[tex]\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex] eller egenvektoren [tex]\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex] som et svar, eller må jeg bruke den siste?

Du kan verifisere om en vektor $\vec x$ er en egenvektor for $A$ ved å utføre multiplikasjonen $A\vec x$ og verifisere at dette bare skalerer $\vec x$.

Test med begge og se hva som skjer.

[tex]\begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 & 1& 0\\ 0 &0 &2 \end{bmatrix}[/tex][tex]\cdot \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex][tex]= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]
og
[tex]\begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 & 1& 0\\ 0 &0 &2 \end{bmatrix}[/tex][tex]\cdot \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}[/tex][tex]= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

Da får jeg en nullvektor i begge utregningene.

Og hva kan du slutte av det?

Jeg ser at begge egenvektorene er ikke-trivielle løsninger av følgende ligning: [tex]A\vec{x}=\lambda\vec{x}[/tex].
Jeg kan regne ut at determinanten [tex]A[/tex] blir lik [tex]0[/tex], [tex]\left | A \right |=0[/tex]. Det betyr at [tex]A[/tex] ikke er inverterbar og at [tex]A[/tex] er lineært avhengig.

Jeg ser at begge egenvektorene er ikke-trivielle løsninger av følgende ligning: $A\vec x = \lambda \vec x\,$.
Nettopp!