matematikk.net

Hei!

Jeg holder på med en differensiallikning som ser slik ut:

y - ty^3 = 0 med initialbetingelser y(0) = 2.

Denne synes jeg gikk greit, hvis jeg kom fram til rett svar.
Jeg fikk at funksjonen ved [tex]y(0) = (2)^{-2} + 0 = 1/4[/tex], så C må være [tex]\frac{7}{4}[/tex] for at funksjonsverdien skal være 2 ved y(0).

Jeg skrev da denne opp slik:
[tex]y^2 + t^2 + \frac{7}{4}[/tex], noe jeg har forstått er skrevet implisitt. Oppgaven ber også om å skrive løsningen eksplitt.

I løsningsforslaget står det at denne er skrevet som [tex]y = \frac{2}{\sqrt{1-4t^2}}[/tex], men jeg ser ikke helt hvordan de har kommet fram til den formen. Jeg forsøkte å spørre i regneøvelsen, men de var ikke helt sikre selv. Noen som klarer å kaste et lys over hvordan de har regnet ut dette?

EDIT:
Jeg kom fram til dette
[tex]y = \sqrt{-t^2-\frac{7}{4}}[/tex]

[tex]y = \frac{\sqrt{-4t^2-7}}{\sqrt{4}}[/tex]


[tex]y = \frac{\sqrt{-4t^2-7}}{2}[/tex]

Men så kommer jeg ikke lenger

Hei igjen!

Jeg går ut fra at dfferensiallikningen skal være $y´- ty^3 = 0$ hvor $ y = f(t)$. Da får vi $ y´= ty^3 => \frac{y´}{y^3} = t$. Integrerer den separable differensiallikningen på begge sider av likhetstegnet:
$\frac{y^{-2}}{-2} = \frac{1}{2}t^2 + C_1, C = -2C_1, y^{-2} = -t^2 + C. y(0) = 2 => 2^{-2} = -(0)^2 + C, C = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
$y^{-2} = -t^2 + \frac{1}{4} => 1 = y^2(-t^2 + \frac{1}{4}), y^2 = \frac{1}{\frac{1}{4} -t^2} = \frac{4}{1 - 4t^2}$
$y = \frac{+/-2}{\sqrt{1 - 4t^2}}$